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Gegeben ist die Funktion

\( f(x, y)=\left\{\begin{array}{cll} \frac{x y+y^{2}}{|x|+|y|} & \text { für } & (x, y) \neq(0,0) \\ 0 & \text { für } & (x, y)=(0,0) \end{array} .\right. \)
Untersuchen Sie für welche \( (x, y) \in \mathbb{R}^{2} \) die Funktion \( f(x, y) \) stetig ist und welche der beiden partiellen Ableitungen erster Ordnung im Ursprung existieren.

Ich würde da so vorgehen erstmal f(1/k,0) und f(0, 1/k) ausrechen und gucken ob beide gleich sind um zu zeigen, dass sie stetig/unstetig in (0,0) sind, aber das funktioniert nicht so wirklich hier.
Würde mich über Hilfe freuen

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Alternative Möglichkeit: Für alle \((x,y)\ne(0,0)\) gilt$$\lvert f(x,y)\rvert=\left\lvert\frac{xy+y^2}{\lvert x\rvert+\lvert y\rvert}\right\rvert\le\frac{\lvert xy\rvert+y^2}{\lvert x\rvert+\lvert y\rvert}\le\frac{x^2+2\lvert xy\rvert+y^2}{\lvert x\rvert+\lvert y\rvert}=\lvert x\rvert+\lvert y\rvert.$$

1 Antwort

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Was hast du denn? Es geht doch beides gegen 0.

Avatar von 53 k 🚀

und eben deshalb funktioniert es nicht

eben, hätten sie eine Idee wie ich vorgehen könnte?

und eben deshalb funktioniert es nicht


Ich rede von der Stetigkeit, und die liegt vor.

Die folgt aber nicht aus der nachgewiesenen Stetigkeit entlang der Koordinatenachsen, wie das Gegenbeispiel f(x,y)=xy/(x^2+y^2) zeigt.

Es folgt aber aus $$ \lim\limits_{r\to 0} \frac{r^2(cos\phi sin \phi +sin^2\phi)}{r(|cos\phi|+|sin\phi|)}=0$$

Und das ist dann in der Tat eine Antwort zum ersten Teil und zur Nachfrage.

Das verstehe ich nicht wirklich

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