Zeigen Sie, dass √{2} wirklich existiert und dass √{2} eine irrationale Zahl ist.

Question

a) Was unterscheidet eine irrationale Zahl von einer rationalen Zahl? Geben Sie jeweils ein Beispiel an, an dem Ihre Argumentation deutlich wird.
b) Zeigen Sie, dass \( \sqrt{2} \) wirklich existiert und dass \( \sqrt{2} \) eine irrationale Zahl ist.
c) Wie kann man den Wert einer irrrationalen Zahl möglichst genau, z.B. auf fünf Nachkommastellen, bestimmen? Beschreiben Sie Ihr Vorgehen!

Kann mir jemand die aufgabe a und c erklären?

Answer 1

Rationale Zahlen sind reelle Zahlen, die als Bruch aus einer ganzen Zahl und einer natürlichen Zahl dargestellt werden können.

Irrationale Zahlen sind reelle Zahlen, die nicht als Bruch aus einer ganzen Zahl und einer natürlichen Zahl dargestellt werden können.

Den Wert einer irrationalen Zahl kann man möglichst genau bestimmen indem man

1. eine Folge rationaler Zahlen findet, die sich von oben beliebig nah der irrationalen Zahl nähert,
   
2. eine Folge rationaler Zahlen findet, die sich von unten beliebig nah der irrationalen Zahl nähert,
3. eine Stelle findet, an denen sich die entsprechenden Folgenglieder um weniger als die gewünschte genauigkeit unterscheiden.