Wieso sind folgende Aussagen falsch?

Question

Sei f eine lineare Abbildung von einem Vektorraum V nach V , und sei B eine
Basis des Kernes von f. Seien weiters b, c ∈ V \ [B] verschieden.
(A) Wenn {b, c} linear unabhängig ist, so gilt f(b) ≠ f(c).
(B) Wenn {b, c} ∪ B linear unabhängig ist, so gilt f(b) ≠ f(c).
(C) Wenn {b, c} linear abhängig ist, so gilt f(b) ≠ f(c).

Wieso sind A,B falsch? Hat es etwas damit zu tun, dass es eine Selbstabbildung ist (von V nach V) und deshalb die Bilder gleich sein könnten?

Und wieso ist dann C richtig?

Comments

Was ist [B]?

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Lt. Notation ist damit die lineare Hülle gemeint

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Wenn f die Null-Abbildung ist, ist alles falsch

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Wenn f die Null-Abbildung ist, dann gibt es keine b, c ∈ V \ [B], die linear abhängig sein können.

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Ja,das habe ich übersehen. Danke für die Korrektur

Answer 1

(A)

        \(\begin{aligned}f&:\ \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\ x\mapsto \left(\begin{smallmatrix}1&1&0\\0&0&0\\0&0&1\end{smallmatrix}\right)\\b &= \left(\begin{smallmatrix}1\\0\\0\end{smallmatrix}\right)\\c &= \left(\begin{smallmatrix}0\\1\\0\end{smallmatrix}\right)\end{aligned}\)

(C) Sei \(r\in K\) mit \(c = r\cdot b\). Dann ist

        \(f(c) = f(r\cdot b) = r\cdot f(b)  \neq f(b)\)

weil \(r\neq 1\) und \(f(b)\neq 0\) ist.

Comments

Was meinst du bei (A) genau. Du bildest ja vom R^2 nach R^2, was soll dann diese Matrix genau bedeuten?

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Du bildest ja vom R² nach R².

Jetzt nicht mehr.