Integration mit Substitution. Lösen Sie die folgenden Integrale

Question

Aufgabe:

 \(\displaystyle \int \frac{2 x^{7}-8 x^{6}+12 x^{5}-5 x^{2}+21 x-9}{2 x^{6}-5 x+1} d x \)

Problem/Ansatz:

Lösen Sie die folgenden Integrale. Ich weiß wir müssen die Substitution benutzen. Ich habe aber gar kein Plan wie.

Answer 1

Aloha :)

Hier würde ich den Integranden zunächst etwas umschreiben:$$f(x)=\frac{2x^7-8x^6+12x^5-5x^2\pink{+21x}\green{-9}}{2x^6-5x+1}$$$$\phantom{f(x)}=\frac{2x^7-8x^6+12x^5-5x^2\pink{+20x+x}\green{-4-5}}{2x^6-5x+1}$$$$\phantom{f(x)}=\frac{(2x^7-5x^2\pink{+x})+(-8x^6\pink{+20x}\green{-4})+(12x^5\green{-5})}{2x^6-5x+1}$$$$\phantom{f(x)}=\frac{x\cdot(\red{2x^6-5x+1})-4\cdot(\red{2x^6-5x+1})+(12x^5-5)}{\red{2x^6-5x+1}}$$$$\phantom{f(x)}=x-4+\frac{12x^5-5}{2x^6-5x+1}$$

Da der Zähler des Bruches die Ableitung des Nenners ist, kannst du die Stammfunktion sofort ohne große Rechnung angeben:$$F(x)=\frac{x^2}{2}-4x+\ln\left|2x^6-5x+1\right|+\text{const}$$

Comments

Das ist echt schlau!

Answer 2

Ich würde erstmal die Polynomdivision machen.