die Reihe auf Konvergenz?

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz

Text erkannt:

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} n \sin \left(\frac{1}{n}\right) ? \)

Problem/Ansatz:

mit Abschätzen der Reihe kann man auf Konvergenz kommen ?

wie sieht es so aus also ?

ich wär dankebar für die Hife

Answer 1

Da \(\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}x = 1\) folgt

$$\lim_{n\to\infty}\frac{\sin \frac 1n}{\frac 1n} = 1$$

Damit ist die Reihe divergent.

Warum? Die Glieder einer konvergenten Reihe bilden eine Nullfolge. Das ist hier offenbar nicht der Fall.

Comments

was hat erste " \(\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}x = 1\)  " damit zu tun ?

und wie kam 1 hier \(\lim_{n\to\infty}\frac{\sin \frac 1n}{\frac 1n} = 1\) ?

aber wenn das Ergebnis 1 am Ende ist, kann man keine Aussage für die Konvergenz treffen oder ?

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Der Limes mit \(\frac 1n\) ist eine Spezialfall des Limes mit \(x\to 0\), denn \(x_n = \frac 1n\) geht gegen 0.

Und zu deiner Frage bzgl. Konvergenz: Lies nochmal meine beiden letzten Sätze der Lösung. In anderen Worten besagen die:

Wenn die Glieder einer Reihe keine Nullfolge bilden, dann ist die Reihe auch nicht konvergent.