Aufgabe:
Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz
Text erkannt:
\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} n \sin \left(\frac{1}{n}\right) ? \)
Problem/Ansatz:
mit Abschätzen der Reihe kann man auf Konvergenz kommen ?
wie sieht es so aus also ?
ich wär dankebar für die Hife
Da \(\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}x = 1\) folgt
$$\lim_{n\to\infty}\frac{\sin \frac 1n}{\frac 1n} = 1$$
Damit ist die Reihe divergent.
Warum? Die Glieder einer konvergenten Reihe bilden eine Nullfolge. Das ist hier offenbar nicht der Fall.
was hat erste " \(\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}x = 1\) " damit zu tun ?
und wie kam 1 hier \(\lim_{n\to\infty}\frac{\sin \frac 1n}{\frac 1n} = 1\) ?
aber wenn das Ergebnis 1 am Ende ist, kann man keine Aussage für die Konvergenz treffen oder ?
Der Limes mit \(\frac 1n\) ist eine Spezialfall des Limes mit \(x\to 0\), denn \(x_n = \frac 1n\) geht gegen 0.
Und zu deiner Frage bzgl. Konvergenz: Lies nochmal meine beiden letzten Sätze der Lösung. In anderen Worten besagen die:
Wenn die Glieder einer Reihe keine Nullfolge bilden, dann ist die Reihe auch nicht konvergent.
Ein anderes Problem?
Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos