Berechnen sie die Ableitung der Funktion fx = -3x hoch 2 an der Stelle x0So= -1 und 2 b) x0=2 x_{0}=2 x0=2e) Welcher Zusammenhang wird deutlich?3 國 Berechnen Sie f′(x0) f^{\prime}\left(x_{0}\right) f′(x0) für x0=−2,−1,1 x_{0}=-2,-1,1 x0=−2,−1,1 bzw. 2 b) f(x)=x3+1 f(x)=x^{3}+1 f(x)=x3+1 X0= -2 und 1
f '(x) = -6x
f'(1) = -6
f'(-1) = 6
f'(2) = .-12
f'(-2) ? 12
Aloha :)
Die Ableitung von f(x)=−3x2f(x)=-3x^2f(x)=−3x2 an einer Stelle x0x_0x0 kannst du so bestimmen:f′(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}f′(x0)=x→x0limx−x0f(x)−f(x0)Wenn wir darin x=x0x=x_0x=x0 einsetzen würden, ergibt der Nenner Null, was nicht definiert ist. Daher müssen wir den Bruch vorher so kürzen, dass der Nenner verschwindet. Dazu setzen wir die Funktionsgleichung ein:f′(x0)=limx→x0−3x2−(−3x02)x−x0=limx→x0−3x2+3x02x−x0=limx→x03(x02−x2)x−x0f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{-3x^2-\left(-3x_0^2\right)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{-3x^2+3x_0^2}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{3(x_0^2-x^2)}{x-x_0}f′(x0)=x→x0limx−x0−3x2−(−3x02)=x→x0limx−x0−3x2+3x02=x→x0limx−x03(x02−x2)Das sieht schon gut aus, denn im Zähler lacht uns die 3-te binomische Formel an. Die nutzen wir aus und kürzen den Bruch:f′(x0)=limx→x03(x0−x)(x0+x)x−x0=limx→x0−3(x−x0)(x0+x)x−x0=limx→x0−3(x0+x)f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{3(x_0-x)(x_0+x)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{-3\pink{(x-x_0)}(x_0+x)}{\pink{x-x_0}}=\lim\limits_{x\to x_0}-3\left(x_0+x\right)f′(x0)=x→x0limx−x03(x0−x)(x0+x)=x→x0limx−x0−3(x−x0)(x0+x)=x→x0lim−3(x0+x)Da können wir nun gefahrlos x=x0x=x_0x=x0 einsetzen und finden:f′(x0)=−3⋅2x02=−6x02f'(x_0)=-3\cdot2x_0^2=-6x_0^2f′(x0)=−3⋅2x02=−6x02Damit kannst du nun durch Einsetzen von x0x_0x0 alle gewünschten Ableitungen berechnen.
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