Lineare Unabhängigkeit zeigen

Question

Aufgabe:

Seien V, W zwei K-Vektorräume und f : V → W eine lineare Abbildung.

Zeigen Sie: Sind v₁, . . . , v_k ∈ V Vektoren, so dass f(v₁), . . . , f(v_k) linear
unabhängig sind, dann sind auch v₁, . . . , v_k linear unabhängig.

Gilt auch die Umkehrung der Aussage? Geben Sie einen Beweis oder ein
Gegenbeispiel an.

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand weiter helfen? Habe morgen eine Klausur dazu und würde mich über Hilfe freuen.

Answer 1

Hallo :-)

Du kannst hier mit Kontraposition zum Ziel kommen. Deine Originalaussage lässt sich so schreiben:

,,\(f(v_1),...,f(v_k)\) linear unabhängig \(\quad \Longrightarrow\quad v_1,...,v_k\) linear unabhängig. "

Starte also damit: \(v_1,...,v_k\) seien linear abhängig. Nutze dann die Linearität von \(f\) aus.

Für die Umkehrung kannst du die Nullabbildung als Gegenbeispiel aufführen.