Für welche Seitenläge x ist der Flächeninhalt maximal?

Question

Aufgabe

Ein 18cm langer Draht soll zu einem Rechteck gebogen werden

a) Für welche Seitenläge x ist der Flächeninhalt maximal?

b) Für welche Seitenlänge x beträgt der Flächeninhalt 4,25 m^2

Answer 1

Es entsteht ein Rechteck mit den Seitenlängen x und 9-x.

Fläche A(x)=x*(9-x) = 9x-x^2

A'(x)= 9-2x A ' (x)=0 <=>  x=4,5  a ' ' (4,5) < 0 .

Also max. Fläche bei x=4,5.  Es ist dann ein Quadrat.

b) 9x-x^2 = 4,5

      0 = x^2 - 9x + 4,5

     pq-Formel  x= 4,5 ±√15,75

Answer 2

Hallo;

b )  U = 18 cm   A =4,25cm²

     I:     18 = 2a+2b    darau ergibt sich    9= a+b     a = 9-b    in II. einsetzen

     II:    4,25 = a*b       

             4,25 = (9-b) *b

            4,25 = 9b-b²      | -9b; +b²

             b² -9b +4,25= 0      pq Formel anwenden

            b(1,2) = 4,5 ± \( \sqrt{4,5²-4,25} \)

            b(1,2)= 4,5 ± 4    

            Die Seitenlängen sind dann 8,5cm und 0,5cm.

Comments

Wie würden Sie a rechnen?

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Hallo;

a)    I.18 = 2a+2b    -> b= 9-a    unten einsetzen

       II.                     A = a*b

                               A = a( 9-a)

                               A = -a² +9a     dies ist eine negative quadratische Funktion,

                                                      der Scheitelpunkt ist auch maximum

                               f(x) = -x² +9x    | *(-1)  und quadratische Ergänzung

                          -1*f(x) = x² -9x

                                     = x² -9x +\( \frac{9}{2} \) ² -\( \frac{9}{2} \) ²

                                     = (x -4,5)² -20,25       | nun wieder mit *(-1)

                              f(x) = - (x-4,5)² +20,25      S ( 4,5| 20,25 )

               bedeutet bei a= 4,5 ist der Flächeninhalt am größten.

               und b =  9 -4,5   b= 4,5 , damit ist es Quadrat.

~plot~ -x^2+9x; ~plot~