Berechnen Sie A⊤A unter der Annahme, dass die Zerlegung existiert.

Question

Sei A ∈ ℝ^M×N eine Matrix mit vollem Rang und M ≥ N. In dieser Aufgabe sollen Sie die Existenz einer Zerlegung der Form

A = UΣV^⊤

Σ= (σ_N) ∈ R^MxN, σN=diag(σ₁,...,σ_N)∈ℝ^N×N

   (0   )

für σ₁ ≥ . . . σ_N > 0 beweisen. Gehen Sie dazu wie folgt vor:

a) Berechnen Sie A^⊤A unter der Annahme, dass die Zerlegung existiert.

b)Leiten Sie damit den Zusammenhang zwischen den EW von A^⊤A und σ₁, . . . , σ_N her und erklären Sie, wie sich V zusammensetzt.

c) Erklären Sie, wie sich die ersten N Spalten von U bei Kenntnis von V und Σ berechnen lassen.

d) Was ändert sich, wenn wir statt des maximalen/vollen Rang nur Rang(A) = R < N voraussetzen?

Kann mir jemand diese Aufgabe erklären?

Comments

Was sollen denn \(U\) und \(V\) sein?
Sind vielleicht \(U\) eine orthogonale \(M{\times}M\)-Matrix und \(V\) eine orthogonale \(N{\times}N\)-Matrix?
Dann wäre \(A^\top\!A={(U\Sigma V^\top)}^\top(U\Sigma V^\top)=V\Sigma^\top U^\top U\Sigma V^\top=V\operatorname{diag}(\sigma_1^2,\dots,\sigma_N^2)V^\top\).
D.h. die \(\sigma_i\) sind die Quadratwurzeln der Eigenwerte von \(A^\top\!A\).
(Eine derartige Zerlegung ist auch als Singulärwertzerlegung bekannt.)

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Ja die Aufgabe behandelt um die Singulärwertzerlegung.

Wie gehe ich dann weiter vor