Aloha :)
In Polarkoordinaten wechseln die Koordinaten \((x;y)\to(r;\varphi)\), wobei:$$\binom{x}{y}=\binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}\quad;\quad r\in[0;\infty)\;;\;\varphi\in[0;2\pi]$$
Damit ein Punkt \((x;y)\) zur Menge \(B\) gehört, muss er zwei Bedingungen erfüllen. Diese beiden Bedinungen schränken die Wertebereiche für \(r\) und \(\varphi\) ein:$$x^2+y^2\le4\implies(r\cos\varphi)^2+(r\sin\varphi)^2=r^2(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)=r^2\le4\implies \pink{r\in[0;2]}$$$$y\ge0\implies r\sin\varphi\ge0\implies\sin\varphi\ge0\implies\pink{\varphi\in[0;\pi]}$$
Das Flächenelement \(df=dx\,dy\) wird durch den Übergang zu Polarkoordinaten verzerrt:$$\frac{dx\,dy}{dr\,d\varphi}=\begin{vmatrix}\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial\varphi}\\[1ex]\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial\varphi}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\cos\varphi & -r\sin\varphi\\\sin\varphi & r\cos\varphi\end{vmatrix}=r\cos^2\varphi+r\sin^2\varphi=r\implies\pink{dx\,dy=r\,dr\,d\varphi}$$
Jetzt brauchst du nur noch das Argument \((x-y)^2\) des Integrals umzuschreiben:$$(x-y)^2=(r\cos\varphi-r\sin\varphi)^2=r^2\cos^2\varphi-2r\cos\varphi\,r\sin\varphi+r^2\sin^2\varphi$$$$\phantom{(x-y)^2}=r^2(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)-r^2\cdot2\cos\varphi\sin\varphi=\pink{r^2(1-2\cos\varphi\sin\varphi)}$$
Damit haben wir nun alles gesammelt, was wir zur Formulierung des Integrals brauchen:$$I=\int\limits_B(x-y)^2\,dx\,dy=\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^\pi r^2(1-2\cos\varphi\sin\varphi)\cdot r\,dr\,d\varphi$$$$\phantom I=\int\limits_{r=0}^2r^3\,dr\int\limits_{\varphi=0}^\pi(1-2\cos\varphi\sin\varphi)\,d\varphi=\left[\frac{r^4}{4}\right]_0^2\left[\varphi-\sin^2\varphi\right]_0^\pi=\frac{16}{4}\,\pi=4\pi$$
