Stammfunktion Partialbruchzerlegung Nennerproblem

Question

Aufgabe:

Partialbruchzerlegung: Ermitteln Sie die Stammfunktion…

Problem/Ansatz:

$\frac{44x³-93x²+8x}{x²(x-2)²}$

Ich habe ein Problem mit dem Nenner, bzw. nur mit dem x².

$\frac{A}{(x-2)}$ $\frac{B}{(x-2)²}$ und wäre dann $\frac{C}{(x-1)²}$ ?

Der Rest der Zerlegung und Bildung der Stammfunktion ist klar.

Wer kann mir helfen ?

Vielen Dank

Gruß

HorstFabian

Comments

Wenn du nicht kürzen willst, müsste der Ansatz dann nicht $\,\large\frac A{(x-2)^2}+\frac B{x-2}+\frac C{x^2}+\frac Dx$ lauten?
https://www.wolframalpha.com/input?i=partial+fraction+4%2F%28%28x%5E…

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So sehe ich das auch!

Answer 1

Zunächst kann man mit x kürzen. Die Partialbruchzerlegung nach dem Kürzen hat die Nenner (x-2), (x-2)² und x. Zur Kontrolle - $\frac{1}{(x-2)^2}$+$\frac{42}{x-2}$+$\frac{2}{x}$.

Comments

Hallo Roland,

erstmal Danke für deine Antwort. Allerdings kann ich deine Lösung nicht nachvollziehen.

Ich möchte zunächst einmal nichts wegkürzen. Der Zähler soll mich erstmal nicht interessieren.

f(x) = $\frac{A}{(x-2)²}$ + $\frac{B}{(x-2)}$ + $\frac{C}{x}$

Multiplikation mit dem Hauptnenner

f(x) = $\frac{A*(x-2)²(x-2)*x}{(x-2)²}$ + $\frac{B*(x-2)²(x-2)*x}{(x-2)}$ + $\frac{C*(x-2)²(x-2)*x}{x}$

Vereinfachen:

f(x) = A*(x-2)*x+ B*(x-2)²*x + C*(x-2)²(x-2) ??

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Ich möchte zunächst einmal nichts wegkürzen. Der Zähler soll mich erstmal nicht interessieren.

Genau, warum solltest du als Mathematik-Lernende(r)
es auch so machen, wie ein Mathematiker es machen würde.
Das ist doch ganz abwegig!

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Nehmen wir also an, es ließe sich nichts kürzen. Dann wäre di Partialbruchzerlegung so, wie sie Arsionoe oben genannt hat.

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Genau, warum solltest du als Mathematik-Lernende(r)
es auch so machen, wie ein Mathematiker es machen würde.
Das ist doch ganz abwegig

So steht es in meinen Lernheften. Der Zähler soll unberührt bleiben.

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Hast du alle Antworten und Kommentare sorgfältig gelesen?

Answer 2

Hallo,

Zähler: 44 x³ -93x² +8x=   x(44 x² -93x +8)

Nenner: $x^{2}$  *  $(x-2)^{2}$

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x kürzen

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$\frac{44 x^2 -93x +8}{x (x-2)^2}$ = $\frac{A}{x}$ +$\frac{B}{x-2}$ +$\frac{C}{(x-2)^2}$

Comments

Wie multipliziere ich das aus, wenn ich dann:

[A*(x-2)²(x-2)] + [B*(x-2)² * x] + [C * (x-2) * x]

habe ?

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Mein Weg zu Ende gerechnet mittels Einsetzmethode:

HN=Hauptnenner

Zum Schluss noch Integrieren:

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OK, danke vielmals. Selbsterkenntnis ist jetzt vorhanden. Man sollte auch den Hauptnenner nehmen und nicht die Linearfaktorzerlegung :-)

Jetzt bin ich ein Stück schlauer.