Zeigen Sie, dass gilt: U ⊂ U + W Unterraum. Und U = U + W genau dann, wenn W ⊂ U.

Question

Aufgabe: Seien V ein K -Vektorraum und U, W ⊂ V Unterräume

(a) Zeigen Sie, dass gilt: U ⊂ U + W Unterraum. Und U = U + W genau dann, wenn W ⊂ U.

(b) Wir nennen die Summe U + W direkt, wenn U ∩ W = {0}. Dann nennen wir sie U ⊕ W := U +W. Zeigen Sie, dass die Summe U + W direkt ist genau dann, wenn dim(U + W) = dim U + dim W.

Ich weiß leider nicht, wie ich dies beweisen soll. Bin über jede Hilfe dankbar!

Answer 1

dass gilt: U ⊂ U + W Unterraum.

Zunächst U ⊂ U + W .

Dazu musst du zeigen:  x∈U    ==>   x ∈  U + W .

Sei also  x∈U   . Da W ein Unterraum ist gilt für den 0-Vektor   0 ∈  W.

Außerdem   x = x+0  , also    x∈U + W.

U + W Unterraum. :  Dazu die Kriterien überprüfen, z.B.

Abgeschlossenheit gegenüber der Addition, also

Wenn x,y ∈ U + W   dann auch  x+y ∈U + W.

Seien also   x,y ∈ U + W    , dann gibt es nach Def. des Summenraums

ein u1 ∈  U und w1 ∈  W mit x= u1+w1  und ebenso

ein u2 ∈  U und w2 ∈  W mit y= u2+w2

==>  x+y = ( u1+w1)  + (u2+w2)  = (u1+u2) + ( w1+w2)

und weil U ein Unterraum ist, ist auch  u1+u2 ∈  U

und entsprechend  w1+w2 ∈  W , also x+y ∈ U+  W .

In der Art die anderen Kriterien auch zeigen.

Comments

Welche weitere Kriterien genau? Und wie funktioniert Aufgabe (b)?

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Weiß jemand wie Aufgabe (b) funktioniert ???:(

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Idee wäre wohl:   Bei direkter Summe bilden

je eine Basis von U und W zusammen eine Basis von U⊕W.

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Warum ist bei a) am Anfang nicht zz: x,y∈U -> x+y∈U+W ??????

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Warum ist bei a) am Anfang nicht zz: x,y∈U -> x+y∈U+W ??????

Da hast du was verwechselt:

Um zu zeigen, dass U ein Unterraum ist (Das ist aber vorausgesetzt,

braucht also nicht gezeigt zu werden.) wäre u.a. zu prüfen:

x,y∈U -> x+y∈U

oder z.zg. dass U+W ein Unterraum ist

x,y∈U+W -> x+y∈U+W.

Ich hatte die Aufgabenstellung

"Zeigen Sie, dass gilt: U ⊂ U + W Unterraum."   allerdings so interpretiert:

Man soll zwei Dinge zeigen:

1.     U ⊂ U + W    (also eine Teilemnegenbeziehung,

nix mit Unterraum)   und dann noch

2.  U + W Unterraum