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Sei BRnB\subset \mathbb{R}^n eine beschränkte, offene Menge. Gilt dann für den Rand immer B\partial B \neq \emptyset? Oder gibt es beschränkte, offene Menge, deren Rand leer ist.

Bemerkungen:

Der Abschluss B\overline B ist die Erweiterung von BB durch alle Grenzwerte der konvergenten Folgen mit Gliedern in BB.

Definition Rand: B=BB\partial B= \overline B\setminus B^{\circ} , wobei BB^{\circ} die Menge der Inneren Punkte von BB ist.


Einschränkung: Es hängt eventuell auch von der Metrik ab

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Beste Antwort

Wenn R\mathbb{R} die übliche Metrik trägt, ist das
wohl nicht möglich. Versieht man jedoch R\mathbb{R}
mit der diskreten Metrik, so ist jede Teilmenge sowohl offen
als auch abgeschlossen, hat also einen leeren Rand.

Avatar von 29 k

Ergibt SInn, wenn bspw. YRnY\subset \mathbb{R}^n abgeschlossen und offen, dann ist Y=YY= \overline Y und Y=YY= Y^{\circ}, also Y=YY=YY=\partial Y= \overline Y\setminus Y^{\circ}= Y\setminus Y=\emptyset


Danke :)

Ja. Dann kann aber Rn\mathbb{R}^n nicht die Standardmetrik

besitzen, da dieser Raum unter der Standardmetrik

zusammenhängend ist, also keine echten sowohl offenen

als auch abgeschlossenen Teilmengen besitzt.

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