Berechnung von a_{1} und d einer arithmetischen Folge mit der Summe bestimmter Glieder, sowie dem Produkt dreier Glieder

Question

Aufgabe:

Die Summe des ersten, dritten und fünften Gliedes einer arithmetischen Folge ist 33. Das Produkt der ersten drei Folgeglieder ist 231. Berechne a1 und d der Folge.

Problem/Ansatz:

Ich weiss nicht wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen sollte.

Answer 1

Löse das Gleichungssystem

a + a+d+d + a+d+d+d+d = 33

a * (a+d) * (a+2d) = 231

(Es gibt zwei Lösungen.)

Comments

a + a+d+d + a+d+d+d+d = 33

$$\implies 3a+6d=3\underbrace{(a+2d)}_{=a_{3}} = 33 \implies a_{3}=33\div 3= 11$$

a*(a+d)*(a+2d) = 231
Löse das Gleichungssystem

besser: teile 231 durch 11 und zerlege das Ergebnis in seine Primfaktoren.

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Ich denke es wird a₁ gesucht, nicht a₃ ?

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Ich denke es wird a1 gesucht, nicht a3 ?

ich denke, dass \(a_1\), \(a_2\) und \(a_3\) gesucht sind. Und \(a_5\) schadet ja auch nicht.

Answer 2

a+(a+2d)+(a+4d) = 33

3a+6d= 33

a+2d= 11

a= 11-2d

a(a+d)(a+2d)= 231

...

(a=3, d=4)

Comments

Siehe oben; Es gibt zwei Lösungen.

Answer 3

Hallo,

Das Produkt der ersten drei Folgeglieder ist 231.

Falls es natürliche Zahlen sind:

Die Primfaktorzerlegung liefert 231=3*7*11.

Damit ist in diesem Fall a1=3 und d=4.

Allgemein:

a=a1

a*(a+d)*(a+2d)=231 (*)

Die Summe des ersten, dritten und fünften Gliedes einer arithmetischen Folge ist 33.

a+(a+2d)+(a+4d)=33

3a + 6d = 33 → a+2d=11   ( =a3)

--> a=11-2d

In (*) einsetzen:

(11-2d)*(11-d)*11=231

d=4 , a=3 (s.o.)

oder

d=12,5

a=11-2*12,5=-14

Probe:

a*(a+d)*(a+2d)

=-14*(-1,5)*11

=231 ✓

a+(a+2d)+(a+4d)

-14+(-14+25)+(-14+50)

=-42+75

=33 ✓

:-)