Zeigen Sie, dass die Menge versehen mit der Matrixmultiplikation eine Gruppe ist.

Question

Aufgabe:

Sei $n \in \mathbb{N}$ und $\beta$ eine nicht-ausgeartete Bilinearform auf $\mathbb{R}^{n, 1}$. Zeigen Sie, dass die Menge
$O(\beta):=\left\{A \in \mathbb{R}^{n, n} \mid \forall u, v \in \mathbb{R}^{n, 1}: \beta(A u, A v)=\beta(u, v)\right\}$
versehen mit der Matrixmultiplikation eine Gruppe ist.

Problem/Ansatz:

Kann mir wer sagen wie ich es beweisen soll

Answer 1

Zu zeigende Gruppeneigenschaften:

Assoziativität

Existenz eines neutralen Elements

...

Kennst du, oder?

Comments

Es reicht aus zu zeigen, dass $O(\beta)$ eine Untergruppe von $GL(\mathbb R, n)$  (invertierbare Matrizen) ist.
Also muss man nur mit dem Untergruppenkriterium arbeiten. Das geht glaub ich schneller.

Answer 2

Zeige, dass das Ding eine Untergruppe der invertierbaren Matrizen ist:

$I \in O(\beta)$: $I$ ist die Einheitsmatrix

$\beta(Iu,Iv) =\beta(u,v)$

$A \in O(\beta) \Rightarrow A^{-1} \in O(\beta)$:

$\beta(Au,Au) = \beta(u,u) = 0 \stackrel{\beta\: nicht ausgeartet}{\Longleftrightarrow} u = 0$

Somit ist $A$ invertierbar. Es folgt

$\beta(A^{-1}u,A^{-1}v) = \beta(AA^{-1}u,AA^{-1}v) =\beta(u,v)$

$A,B \in O(\beta) \Rightarrow AB \in O(\beta)$:

$\beta(ABu,ABv) = \beta(Bu,Bv) =\beta(u,v)$

Damit sind alle Untergruppenkriterien erfüllt. Also ist $O(\beta)$ eine Gruppe.