Zeigen Sie: Falls g ∈ \mathcal{L}(V, V) mit f=g \circ g {ad } existiert, gilt:

Question

Aufgabe:

Sei $V$ ein endlichdimensionaler unitärer $\mathbb{C}$-Vektorraum und $f \in \mathcal{L}(V, V)$.

(a) Zeigen Sie: Falls $g \in \mathcal{L}(V, V)$ mit $f=g \circ g^{\text {ad }}$ existiert, gilt:
(i) $f$ ist selbstadjungiert.
(ii) $f$ ist diagonalisierbar.
(iii) $\langle f(v), v\rangle \in \mathbb{R}_{\geq 0}$ für alle $v \in V$.
(iv) Die Eigenwerte von $f$ sind nicht-negative reelle Zahlen.
(b) Zeigen Sie: Falls $f$ selbstadjungiert ist und alle Eigenwerte von $f$ nicht-negative reelle Zahlen sind, so existiert $g \in \mathcal{L}(V, V)$ mit $g^{\text {ad }}=g$ und $f=g \circ g$.

Problem/Ansatz:

Kann mir wer helfen bei ii usw.

Fur i habe ich glaub ich den beweis