Bestimmen Sie den Konvergenzradius von Σ _{n=0}^{∞}√{2^n+1}*x^n

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Konvergenzradius von \(\sum \limits_{n=0}^{\infty}\sqrt{2^n+1}\cdot x^n\)

Problem/Ansatz:

ich weiß, dass der Konvergenz radius \(r = \lim\limits_{n\to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}} = \frac{1}{\sqrt 2}\) ist, jedoch verstehe ich nicht wie man das begründet.

wieso ist die n. Wurzel von (2^n+1) gleich wurzel 2? also wie begründet man das?

Answer 1

Einfach die Rechengesetze für Potenzen ausnutzen:

$$\sqrt[n]{\sqrt{2^n+1}} = \left(\left(2^n+1\right)^{\frac 12}\right)^{\frac 1n} = \left(2^n+1\right)^{\frac 1{2n}}$$

$$= \left(2^n\left(1+ \frac 1{2^n}\right)\right)^{\frac 1{2n}}  = 2^{\frac 12}\cdot \left(1+ \frac 1{2^n}\right)^{\frac 1{2n}}\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}2^{\frac 12}\cdot 1^0 =\sqrt 2$$

Comments

Vielen Dank!

Answer 2

Es ist \(\sum \sqrt{2^n+1}\cdot x^n=\sum \sqrt{1+1/2^n}(\sqrt{2}x)^n=\sum a_ny^n\)

mit \(y=\sqrt{2}x\) und \(a_n=\sqrt{1+1/2^n}\).

\(\lim |\frac{a_n}{a_{n+1}}|=1\). Die Potenzreihe in \(y\) hat damit

den Konvergenzradius 1, die Reihe in \(x\) folglich

den Konvergenzradius \(1/\sqrt{2}\).