Zahlenreihe Σ cos(πk) / k auf Konvergenz untersuchen

Question

Σ cos(πk) / k

$$\sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ \frac { \cos { (\pi k) }  }{ k }  }$$

Ich soll die ausgeführte Zahlenreihe auf konvergenz mit einem geeignetem Kriterium untersuchen. Ich hab nun das folgende Problem ich weiß nicht wie genau ich da vor gehen muss, da mich das cos sehr verwirrt. Ich würde mich sehr freuen, wenn mir da jemand weiter helfen könnte.  

Answer 1

Hi,

da k eine natürliche Zahl ist, nimmt cos(πk) die Werte 1 und -1 an.

Kann also zu (-1)^k umgeschrieben werden.


Darauf dann das Leibnizkriterium angewandt erhält man direkt, dass das ganze konvergent ist (1/k ist ja eine Nullfolge).


Grüße