Analysis: Bestimmen Sie die Parameter a, b, c ∈ ℝ so, dass die Funktion f: ℝ → ℝ stetig und differenzierbar ist.

Question

Hallo,

ich bereite mich grade auf die Prüfungen für Anaylsis 1 vor und rechne Altaufgaben von einer Onlineprüfung durch.

Normalerweise habe ich keine Probleme mit der Thematik Stetigkeit und Differenzierbarkeit, aber ich komme bei dieser Aufgabe zu keiner Lösung.

Text erkannt:

Bestimmen Sie die Parameter $a, b, c \in \mathbb{R}$ so, dass die Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ mit
$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} -a x, & x<0 \\ \frac{1}{\pi} \sin (\pi x)+b, & 0 \leq x \leq 1 \\ -\sqrt{c x}+\sqrt{c}, & 1<x \end{array}\right.$
stetig und differenzierbar ist.
$a=$
$b=$
$c=$

Ich habe versucht das mit der H Methode zu rechnen.

lim h → 0- = -a*0+h - (1/pi*sin(pi*0)+b) / h

= h - b / h = 1-b / h

lim h → 0+ = (1/pi*sin(pi*0+h)+b)-(1/pi*sin(pi*0)+b) / h

= 1/pi*sin(h) / h

da Null durch Null wende ich l'hospital an.

= cos(h)/pi = 1/pi

Schon allein an dieser Rechnung stimmt was nicht, da ich so auch keiner Informationen über a rausbekomme, obwohl ich eine feste Zahl für a angeben muss.

Hat jemand einen Ansatz ?

Answer 1

Die Funktion f(x) hat für x<0 "bis an 0 heran" den konstanten Anstiehg -a.

Damit die Funktion auch bei x=0 differenzierbar bleibt, muss sie an der Stelle x=0 "knickfrei" weitergehen und an der Stelle x=0 auch den Anstieg -a haben.

Nun ist die Ableitung dort cos(πx) und an der Stelle x=0 also cos(0)=1.

Der knickfreie Übergang ist nur möglich, wann a=-1 ist, denn dann ist -a auch 1.

Comments

Verstehe und bei c komme ich dann auf 2. Also hätte ich das garnicht mit der H Methode machen müssen. Aber ich hätte doch eigentlich auch formal drauf kommen müssen mit f(x0+h) -f(x0) / h .

Kannst du mir denn sagen, was ich speziell in meiner Rechnung falsch gemacht habe oder ist das komplett der falsche Ansatz dafür ?

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Ja, dein Ansatz ist falsch.

Du schreibst da etwas von

lim h → 0-

und verwendest Terme wie

(1/pi*sin(pi*0)+b) / h

die für x<0 überhaupt keine Rolle spielen weil sie erst ab x>=0 gelten.