Lineare Unabhängigkeit zeigen, Umkehraussage und Linearkombination angeben

Question

Aufgabe:

(Lineare Unabhängigkeit)

(a) Begründen Sie anhand eines Beispiels, dass folgende Aussage nicht wahr ist: In einem $\mathbb{F}$-Vektorraum $V$ seien die Listen $v_{1}, \ldots, v_{n}$ und $w_{1}, \ldots, w_{n}$ linear unabhängig. Dann ist auch die Liste
$v_{1}+w_{1}, \ldots, v_{n}+w_{n}$
linear unabhängig.
(b) Formulieren Sie die Umkehraussage zu (a). Ist die Umkehraussage wahr oder falsch? Führen Sie einen Beweis (falls die Aussage wahr ist) oder geben Sie ein Gegenbeispiel an (falls die Aussage falsch ist).
(c) Bestimmen Sie diejenigen $\lambda \in \mathbb{R}$, für die die Liste $(\lambda, 1,0),(1,-1,1),(0,0,1) \in \mathbb{R}^{3}$ linear abhängig ist und geben Sie eine entsprechende nicht-triviale Linearkombination zum Nullvektor an.

Comments

Wie wäre es denn, wenn w_i=-v_i ist?

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Wie würde ich das dann beweisen?

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Du sollst doch zeigen, dass die Aussage a nicht wahr ist. Dazu reicht ein Gegenbeispiel.