Aufgabe:
Zeige: ln(x) ≥ -\( \frac{2}{e\sqrt{x}} \) ∀x>0
Problem/Ansatz:
Könnte mir jemand zeigen, wie die Aufgabe zu lösen ist? Hab es über umformen versucht, komme aber auf kein klares Ergebnis.
Führe eine Bestimmung des Extremums von \(\sqrt{x}\ln(x)\) durch....
\( ln(x) \ge -\frac{2}{e\sqrt{x}} \)
<=> \( ln(x)\cdot \sqrt{x} \ge -\frac{2}{e} \)
\( f(x)= ln(x)\cdot \sqrt{x} \) hat die Ableitung \( f ' (x) = \frac{ln(x)+2}{\sqrt{x}} \)
Die ist nur 0 bei \( e^{-2} \)
Und \( f(e^{-2}) = -\frac{2}{e} \)
Suche noch ein Argument für
globales Min. für x>0.
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