Zu- und Abflussgeschwindigkeit des Wassers

Question

Aufgabe:

Die Zu-bzw. Abflussgeschwindigkeit des Wassers ändere sich nun ständig. Die momentane Volumenänderungsrate sei nun: \( g(t)=-0,625 \cdot t+5\left(\frac{m^{3}}{h}\right) \).

i) Zeichnen Sie den Graphen für die ersten 12 Stunden

ii) Berechnen Sie zu-bzw. abgeflossenen Wassermengen!

iii) Berechnen und interpretieren Sie den Wert des Integrals \( \int \limits_{0}^{12} g(t) d t \) !

Für Experten:

iv) Geben Sie die Volumenfunktion \( V(t) \) für die Wassermenge zur Zeit \( t \) an, wenn zu Beginn \( 8 \mathrm{~m}^{3} \) im Pool waren!

v) Geben Sie an, wann Wassermenge im Pool maximal war und berechnen Sie die maximale Wassermengel

Problem/Ansatz:

Hallo ich weiß nicht was man bei ii und iii  machen soll, vielleicht kann mir jemand helfen ich weiß nicht wie man vorgeht?

Answer 1

Hallo Emma,

i) Zeichnen Sie den Graphen für die ersten 12 Stunden

oben zeigt die rote Gerade die Zu-bzw. Abflussgeschwindigkeit des Wassers in Abhängigkeit der Zeit (in Stunden) - bzw. den Graphen der Funktion \(g(t)=-0,625 t + 5\).

ii) Berechnen Sie zu-bzw. abgeflossenen Wassermengen!

Zum Zeitpunkt \(t=0\) fließen \(5\text{m}^3/\text{h}\) Wasser zu und nach \(8\text{h}\) ist der Zufluß bei 0. Da der Zufluß über die Zeit linear abnimmt, sind in den ersten \(8\text{h}\) ...$$5\frac{\text{m}^3}{\text{h}} \cdot 8\text{h} \cdot \frac{1}{2} = 20\text{m}^3$$... Wasser in den Pool geflossen. In den nächsten \(4\text{h}\) fließt das Wasser ab. Beginnend mit 0 bis \(2,5\text{m}^3/\text{h}\) - also ist der Abluß$$2,5\frac{\text{m}^3}{\text{h}} \cdot 4\text{h} \cdot \frac{1}{2} = 5\text{m}^3$$Es sind also in Summe \(15\text{m}^3\) Wasser in den Pool geflossen.

Das entspricht der blau markierten Fläche unter der roten Kurve, wobei der Teil, der sich unterhalb der Null-Linie befindet, negativ gezählt wird - also \(20-5=15\)

iii) Berechnen und interpretieren Sie den Wert des Integrals \( \int \limits_{0}^{12} g(t) d t \) !

Berechnung des Integrals:$$\begin{aligned}\int \limits_{0}^{12} g(t)\,\text{d}t &= \int \limits_{0}^{12} -0,625 t + 5\,\text{d}t \\&= \left[-0,3125t^2 + 5t \right]_{0}^{12} \\&= -0,3125 \cdot 12^2 + 5\cdot 12 - \left(-0,3125 \cdot 0^2 + 5\cdot 0\right) \\&= -45 + 60 \\ &= 15\end{aligned}$$Der Wert des Integrals ist also genau der Zufluß innerhalb der \(12\text{h}\)

iv) Geben Sie die Volumenfunktion \( V(t) \) für die Wassermenge zur Zeit \( t \) an, wenn zu Beginn \( 8 \mathrm{~m}^{3} \) im Pool waren!

Das Volumen im Pool ist das Volumen zum Zeitpunkt \(t=0\) plus das Delta was bis zum Zeitpunkt \(t\) zu- oder abgeflossen ist. Also formal$$V(t) = V(t=0) + \int\limits_{t=0}^{t} g(t)\,\text{d}t$$das solltest Du nun selber ausrechen könnne (s.o.). Die grüne Kurve oben im Bild ist der Graph von \(V(t)\) mit \(V(0)=8\text{m}^3\)

v) Geben Sie an, wann Wassermenge im Pool maximal war und berechnen Sie die maximale Wassermengel

Die maximale Wassermenge ist dann erreicht, wenn nichts mehr zufließt, aber auch noch nichts abfließt. Wann ist das der Fall?

Falls Du dazu Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Comments

Hallo Werner,

vielen Dank!!

das hat mir super viel weiter geholfen ..ich frage mich nur noch, wie du bei Nummer II auf 1/2 kommst?

Ganz vielen Dank!

Emma

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ich frage mich nur noch, wie du bei Nummer II auf 1/2 kommst?

Der Zufluß der ersten \(8\text{h}\) ist ja nicht konstant, sondern nimmt linear von \(5\text{m}^3/\text{h}\) bis \(0\text{m}^3/\text{h}\) ab.

Also im Mittel fließt das Wasser mit \(5\text{m}^3/\text{h} \div 2 = 2,5 \text{m}^3/\text{h}\) zu - da kommt das \(1/2\) her.

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Hallo Werner, ich hatte noch mal eine Nachfrage bei Nummer fünf ist es acht wo nichts mehr abfließen nichts mehr zu fließt und wie berechne ich diese Wassermenge?

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Hallo Werner, ich hatte noch mal eine Nachfrage bei Nummer fünf ist es acht wo nichts mehr abfließen nichts mehr zu fließt und wie berechne ich diese Wassermenge?

Das Maximum ist dann erreicht, wenn nichts mehr zufließt, also der Zufluß \(g(t)\) genau \(=0\) ist, also bei \(t_{\max}=8\). Die Wassermenge, die in dieser Zeit zufliesst, ist das Integral bis \(t_{\max}=8\)$$\begin{aligned}\text{d}V(8) &= \int \limits_{0}^{t_{max}=8} g(t)\,\text{d}t \\&= \int \limits_{0}^{8} -0,625 t + 5\,\text{d}t \\&= \left[-0,3125t^2 + 5t \right]_{0}^{8} \\&= -0,3125 \cdot 8^2 + 5\cdot 8 - \left(-0,3125 \cdot 0^2 + 5\cdot 0\right) \\&= -20 + 40 \\ &= 20\end{aligned}$$und da vorher schon \(8\text{m}^3\) im Pool waren, sind es in Summe$$V_{\max} = 8 + \text{d}V(8) = 28$$oder Du setzt die \(8\) in die Volumenfunktion ein, nach der unter (iv) gefragt war$$V(t) = -0,3125t^2 + 5t +8$$Tipp: es rechnet sich übrigens leichter mit \(V(t)=-\frac{5}{16}t^2+5t+8\)

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Vielen Dank!!

Ich habe noch ein paar andere Mathe Fragen, ich schreibe Freitag meine Arbeit…kann ich dich noch irgendwo anders erreichen?

Ansonsten wäre meine erste Frage folgende siehe Bild :

Text erkannt:

Sind Umiehrungen zucinander.
Beispiel:
zeigen sie, dass \( F(x)=x^{2}+\frac{1}{x}+C \) line Stammunition von
\( f(x)=2 x-\frac{1}{x^{2}} \text { is). } \)
1. Voriante: \( \int f(x) d x=F(x) \)
2. Variate: \( F^{\prime}(x)=f(x) \quad A A \) :

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Ich habe noch ein paar andere Mathe Fragen ...

das was oben steht ist richtig und lässt sich mit den üblichen Regeln für Ableiten und Integrieren von Potenzen erledigen:$$\frac{\text{d}}{\text{d}x}x^k = k \cdot x^{k-1} \quad k \ne 0\\\int x^k\,\text{dx} = \frac{1}{k+1}x^{k+1} + C \quad k \ne -1$$für die Ausnahmen gilt:$$\frac{\text{d}}{\text{d}x}x^0 =  \frac{\text{d}}{\text{d}x} C= 0 \\ \int x^{-1}\,\text{d}x = \ln(x) + C$$Wenn Du eine neue Frage hast, so stelle diese bitte hier in der Mathelounge als neue Frage ein.

…kann ich dich noch irgendwo anders erreichen?

im Prinzip über die Email-Adresse in meinem Profil, aber ich antworte i.A. erst sehr spät ...

Answer 2

ich weiß nicht was man bei ii und iii machen soll

Man soll die zu- bzw. abgeflossenen Wassermengen berechnen und den Wert des Integrals berechnen und interpretieren.

Comments

Ja das ist mir klar:)

das steht ja in der Aufgabe ..aber ich weiß leider nicht wie man das macht setzt man in das integral die Ablaufgeschwindigkeit ein oder wie macht man das ich bin leider komplett über fragt…

Liebe Grüße

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Das Grüne ist das zugeflossene und das Blaue das abgeflossene Wasservolumen (0,625 = 5 / 8).

Das Integral von 0 bis 12 ist die Zunahme des Volumens in diesem Zeitraum.

\(\displaystyle \int \limits_{0}^{12}\left(-\frac{5}{8} t+5\right) d t=15 \)

Answer 3

i)

ii)

In den ersten 8 Stunden laufen 20 m³ hinzu. In den letzten 4 Stunden laufen 5 m³ ab.

iii)

Der Wert des Integrals ist die Summe der Teilintegrale und damit 15 m³. Es entspricht der Bestandsänderung des Wasservolumens über die gesamten 2 Stunden.