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Aufgabe:

Sei M ⊆ R eine nicht-leere Menge. Zeigen Sie:

S∈R ist Supremum von M ⇔ (i) s ist obere Schranke von M (ii) ∃(an)n∈N ⊆ M : an n→∞→ s

In der " ⇒ " - Richtung können Sie sich eine geeignete Folge mithilfe des Einschließungssatzes konstruieren


Hallo,

Es geht um die "⇒" Richtung. Das S obere Schranke sein muss ist ja selbst erklärend, aber ich verstehe nicht  wie man sich eine Folge aus M konstruieren soll. Der Einschließungssatz besagt xnwnynx_n \leq w_n \leq y_n

Mein Ansatz ist:

S1/n=xnS-1/n=x_n und S+1/n=ynS+1/n=y_n

Da sup(M)-ε<m ∀m∈M gilt muss es ja egal wie nahe S1/nS-1/n an S heran kommt immer ein wn w_n geben, sodass gilt S1/n<wnS-1/n<w_n

Und wenn das richtig sein sollte, komme ich dann leider nicht weiter. wn w_n muss Teilmenge aus M sein, aber wie man die konstruieren soll verstehe ich nicht.

Ich hoffe das war verständlich und nicht zu wirr, wäre sehr nett, wenn sich jemand die Zeit nehmen würde und mir helfen könnte :)

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Könnte man wnw_n einfach als  wn : =ms1/nnNw_n:= m ≥ s-1/n ∀n∈N definieren? Erscheint mir irgendwie falsch formuliert zusein...

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Hallo,

Du hast eigentlich alles richtig zusammengetragen. Ich fasse es noch einmal mit meinen Worten zusammen.

S sei Supremum von M, also kleinste obere Schranke. Dann setzten wir

xn : =S1/n,  yn : =Sx_n:=S-1/n, \; y_n:=S

(S reicht, weil es ja ohnehin obere Schranke ist.) Wir konstruieren jetzt eine Folge (an)N(a_n)\in \N, wie folgt: Weil S kleinste obere Schranke ist, ist xnx_n keine obere Schranke. Deshalb existiert ein Element mMm \in M mit xnmS=ynx_n \leq m \leq S=y_n. Eines dieser Elemente wählen wir als ana_n.

Dann gilt für alle nNn \in \Nxnanynx_n \leq a_n \leq y_n. Nach dem Einschließungssatz folgt: anSa_n \to S

Gruß Mathhilf

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