S∈R ist Supremum von M ⇔ (i) s ist obere Schranke von M (ii) ∃(an)n∈N ⊆ M : an n→∞→ s

Question

Aufgabe:

Sei M ⊆ R eine nicht-leere Menge. Zeigen Sie:

S∈R ist Supremum von M ⇔ (i) s ist obere Schranke von M (ii) ∃(an)n∈N ⊆ M : an n→∞→ s

In der " ⇒ " - Richtung können Sie sich eine geeignete Folge mithilfe des Einschließungssatzes konstruieren

Hallo,

Es geht um die "⇒" Richtung. Das S obere Schranke sein muss ist ja selbst erklärend, aber ich verstehe nicht  wie man sich eine Folge aus M konstruieren soll. Der Einschließungssatz besagt $$x_n \leq w_n \leq y_n$$

Mein Ansatz ist:

$S-1/n=x_n$ und $S+1/n=y_n$

Da sup(M)-ε<m ∀m∈M gilt muss es ja egal wie nahe $S-1/n$ an S heran kommt immer ein $w_n$ geben, sodass gilt $S-1/n<w_n$

Und wenn das richtig sein sollte, komme ich dann leider nicht weiter. $w_n$ muss Teilmenge aus M sein, aber wie man die konstruieren soll verstehe ich nicht.

Ich hoffe das war verständlich und nicht zu wirr, wäre sehr nett, wenn sich jemand die Zeit nehmen würde und mir helfen könnte :)

Comments

Könnte man $w_n$ einfach als  $w_n:= m ≥ s-1/n ∀n∈N$ definieren? Erscheint mir irgendwie falsch formuliert zusein...

Answer 1

Hallo,

Du hast eigentlich alles richtig zusammengetragen. Ich fasse es noch einmal mit meinen Worten zusammen.

S sei Supremum von M, also kleinste obere Schranke. Dann setzten wir

$$x_n:=S-1/n, \; y_n:=S$$

(S reicht, weil es ja ohnehin obere Schranke ist.) Wir konstruieren jetzt eine Folge $(a_n)\in \N$, wie folgt: Weil S kleinste obere Schranke ist, ist $x_n$ keine obere Schranke. Deshalb existiert ein Element $m \in M$ mit $x_n \leq m \leq S=y_n$. Eines dieser Elemente wählen wir als $a_n$.

Dann gilt für alle $n \in \N$: $x_n \leq a_n \leq y_n$. Nach dem Einschließungssatz folgt: $a_n \to S$

Gruß Mathhilf