Das elementare Integral einer Treppenfunktion ist wohldefiniert

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie: Das elementare Integral einer Treppenfunktion ist wohldefiniert,
d.h. der Wert des Integrals $\int\limits_{a}^{b}$ φ dx hängt nicht von der gewählten Zerlegung ab

Problem/Ansatz:

Wie ist hierbei vorzugehen

Answer 1

Es bezeichne $\int_Z \varphi dx$ das elementare Integral der

Treppenfunktion $\varphi$ zur Zerlegung $Z$.

Zeige dann für $Z_1\subseteq Z_2$, dass

$\int_{Z_1} \varphi \, dx= \int_{Z_2}\varphi \, dx\quad(*)$

und schließe daraus für zwei Zerlegungen $Z_1,Z_2$, dass

gilt $\int_{Z_1} = \int_{Z_1\cup Z_2}=\int_{Z_2}$ ist.

Um $(*)$ zu zeigen, reicht es, die Situation $Z_2=Z_1\cup \{x\}$

zu betrachten für ein $x\in [a,b]\backslash Z_1$.