Aloha :)$$F(t)=\int\limits_0^\infty\frac{\sin x}{x}\,e^{-xt}\,dx\quad;\quad t\ge0$$
Ich würde das Integral einfach ausrechnen. Dazu bestimme zuerst \(F'(t)\) und integriere das Ergebnis anschließend nach \(dt\). Mit Hilfe der Leibniz-Regel für Parameterintegrale gilt:$$F'(t)=\int\limits_0^\infty\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\sin x}{x}\,e^{-xt}\right)dx=\int\limits_0^\infty\frac{\sin x}{x}\cdot(-x)\,e^{-xt}\,dx=\int\limits_0^\infty\underbrace{(-\sin x)}_{=u'}\cdot \underbrace{e^{-xt}}_{=v}\,dx$$
Das unbestimmte Integral bestimmen wir mittels partieller Integration:$$I(x)=\int\underbrace{(-\sin x)}_{=u'}\cdot \underbrace{e^{-xt}}_{=v}\,dx=\underbrace{\cos x}_{=u}\cdot \underbrace{e^{-xt}}_{=v}-\int\underbrace{\cos x}_{=u}\cdot \underbrace{(-te^{-xt})}_{=v'}\,dx$$$$\phantom{I(t)}=\cos x\cdot e^{-xt}+t\int\underbrace{\cos x}_{=p'}\cdot \underbrace{e^{-xt}}_{=q}\,dx$$$$\phantom{I(t)}=\cos x\cdot e^{-xt}+t\left(\underbrace{\sin x}_{=p}\cdot \underbrace{e^{-xt}}_{=q}-\int\underbrace{\sin x}_{=p}\cdot\underbrace{(-te^{-xt})}_{=q'}\,dx\right)$$$$\phantom{I(t)}=\cos x\cdot e^{-xt}+t\sin x\cdot e^{-xt}-t^2\underbrace{\int(-\sin x)\cdot e^{-xt}\,dx}_{=I(x)}$$
Wir bringen alle Terme mit \(I(x)\) auf die linke Seite:$$I(x)+t^2\,I(x)=e^{-xt}(\cos x+t\sin x)\quad\implies\quad I(x)=\frac{e^{-xt}(\cos x+t\sin x)}{1+t^2}$$
Das bedeutet für die Ableitung \(F'(t)\) von oben:$$\small F'(t)=I(x\to\infty)-I(x=0)=\underbrace{\lim\limits_{x\to\infty}\left(\frac{e^{-xt}(\cos x+t\sin x)}{1+t^2}\right)}_{=0}-\left(\frac{1}{1+t^2}\right)=-\frac{1}{1+t^2}$$
Integration liefert (fast) das gesuchte Integral:$$F(t)=-\arctan(t)+C$$
Es fehlt noch die Integrationskonstante \(C\):$$\small-\arctan(t)+C=F(t)\stackrel!=\int\limits_0^\infty\frac{\sin x}{x}\,e^{-xt}\,dx\stackrel{(t\to\infty)}{\implies}-\frac\pi2+C=\int\limits_0^\infty\frac{\sin x}{x}\cdot0\,dx=0\implies C=\frac\pi2$$
Damit erhalten wir schließlich:$$F(t)=\int\limits_0^\infty\frac{\sin x}{x}\,e^{-xt}\,dt=\frac\pi2-\arctan(t)$$
