Beweisen, dass f ebenfalls eine Treppenfunktion ist

Question

Aufgabe:

Seien φ, ψ: [a, b] → R zwei Treppenfunktionen. Die Maximumsfunktion f := max(φ, ψ) ist dann definiert durch
f : [a, b] → R, f(x) = max(φ(x), ψ(x)).

Problem/Ansatz:

Es soll bewiesen werden, dass f ebenfalls eine Treppenfunktion ist. Hierbei würde ich Anfangs mittles Verfeinerung vorgehen. Wie ist danach fortzufahren?

Answer 1

Ich setze folgende Dinge als bekannt voraus:

Wenn \(\phi , \psi\) Treppenfunktionen sind, dann auch

\(\phi + \psi,\; t\cdot \phi \:(t\in \mathbb R) \) und \(\; |\phi|\)

Nun gilt

$$\max(\phi,\psi) = \frac 12(\phi + \psi) + \frac 12|\phi-\psi|$$

Damit ist \(\max(\phi,\psi)\) ebenfalls eine Treppenfunktion.