Ende eines Induktionsbeweises

Question

Aufgabe: Zeigen Sie mittels Induktion:

$$\sum^{n}_{j=1} 3^j = \frac{3}{2} \times (3^{n}-1)$$

Problem/Ansatz:

IA: Klar

IV: Klar

IS: Nachdem n+1 eingesetzt und IV verwendet wurde, muss gezeigt werden, dass folgende beiden Terme gleich sind: $$\frac{3}{2} \times (3^{n}-1)+3^{n+1}=\frac{3}{2} \times (3^{n+1}-1)$$

Habe es lange versucht, aber anscheinend wende ich an irgendeiner stelle nicht das richtige Potenzgesetz an oder so..

Könnte es mir bitte jemand im Detail zeigen?

Mit freundlichen Grüßen und vielen Dank

Comments

$$ \frac{3}{2} \cdot (3^n -1)  + 3^{n+1}= \frac{1}{2}\cdot3^{n+1}-\frac{3}{2} + \frac{2}{2}\cdot3^{n+1} = \frac{3}{2}\cdot 3^{n+1}-\frac{3}{2} = \frac{3}{2}\cdot(3^{n+1}-1) $$

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\(\sum\limits^{n}_{j=1} 3j = \frac{3}{2} \times (3^{n}-1)\)

\(\begin{aligned}\sum^{2}_{j=1} 3j &= 3\cdot 1 + 3\cdot 2 = 9\\\frac{3}{2} \times (3^{2}-1) &= 12\end{aligned}\)

Die Terme sind nicht gleichwertig.

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Es sollte 3^j heißen, nicht 3j! Sorry und danke fürs drauf aufmerksam machen. Könntest du es als Moderator editieren?

Vielen Dank und einen schönen Abend!

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Vielen Dank @MatHaeMatician, aber warum ergibt \( \frac{3}{2} \) · 3ⁿ = \( \frac{1}{2} \) · 3ⁿ⁺¹?

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Es gilt \( 3^i \cdot 3^j = 3^{i+j} \)

Hier dann i=1 und j=n

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\(\frac{3}{2}\cdot 3^n = \frac{1}{2}\cdot 3\cdot 3^{n}=\frac{1}{2}\cdot 3^{n+1}\)

Zuerst Bruchrechenregeln, dann Potenzgesetze.

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Achso, klar. Bin nicht drauf gekommen die \( \frac{3}{2} \) aufzuteilen... Dann normal Potenzgesetz mit gleicher Basis, logisch!

Vielen Dank euch!!

Answer 1

Hallo

löse links und rechts die Klammern auf, fertig

ledum

Answer 2

vgl:

https://www.michael-holzapfel.de/themen/grenzwert/geoReihe/geo_Reihe.htm

Auf deinen Fall übertragen:

Summe = 3^1*(3^n-1)/(3-1) = 3/2*(3^n-1)