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x \sqrt{x} Aufgabe:

 fn(x)=χ[1n,1n](x)nsin(nx) f_{n}(x)=\chi_{\left[-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\right]}(x) \sqrt{n} \sin (n x) mit xR x \in \mathbb{R}

Dabei bezeichnet χ \chi die sogenannte charakteristische (auch Indikator-) Funktion und ist für beliebiges AR A \subset \mathbb{R} folgendermaßen definiert
χA(x)={1,xA0, sonst  \chi_{A}(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1, & x \in A \\ 0, & \text { sonst } \end{array}\right.


Problem/Ansatz:

Es soll die punktweise bzw. gleichmäßige Konvergenz bei n→∞  und x∈ℝ gezeigt werden. Die charakteristische (auch Indikator-) Funktion verwirrt mich aber und ich komme nicht weiter!

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Plotte dir einfach mal ein paar Funktionen

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Das ist für n=1, 2, 3, 4, 5, 6. Was erkennst du?

Wir haben hier anscheinend Funktionen mit n=1,...,6, wobei (weiß nicht genau wie ich das ausdrücken soll) der "Sprung" von -1 bzw. 1 immer kleiner bis -0,2 bzw. 0,2 wird? Mehr bzw. etwas erkenntnisreiches für mich sehe ich jetzt nicht!?

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Beste Antwort

Schreib doch erst einmal die Funktion auf mit Hilfe der gegebenen Definition der Indikatorfunktion:

fn(x)={nsin(nx)x[1n,1n]0 sonst  f_n(x)=\left\{\begin{array}{ll} \sqrt{n} \sin (n x) & x \in \left[-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\right] \\ 0 & \text { sonst } \end{array}\right.

D.h, für beliebiges festes x0x \neq 0 finden wir eine natürliche Zahl Nx>1xN_x >\frac 1{|x|}, so dass für nNxn\geq N_x gilt

x∉[1Nx,1Nx][1n,1n]x\not \in \left[-\frac{1}{N_x}, \frac{1}{N_x}\right] \supseteq \left[-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\right]

Da außerdem fn(0)=0f_n(0) = 0 ist, haben wir für alle xRx\in \mathbb R

limnfn(x)=0\lim_{n\to\infty} f_n(x) = 0

Die Folge ist also punktweise konvergent gegen die Nullfunktion.


Die Konvergenz kann aber nicht gleichmäßig sein. Denn angenommen, fnf_n wäre gleichmäßig konvergent, dann wäre diese Folge in der gleichmäßigen Norm beschränkt:. D.h., es müsste gelten fn<C||f_n||_{\infty}<C für alle n für ein geeignetes C>0C>0.

Nun gilt aber

fn=supxRfn(x)=nsin1n||f_n||_{\infty} = \sup_{x\in \mathbb R}|f_n(x)| = \sqrt n \sin 1\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}\infty

Damit kann die Folge fn||f_n||_{\infty} nicht beschränkt sein und somit kann die Konvergenz nicht gleichmäßig sein.

Avatar von 12 k

Vielen, vielen Dank für deine ausführliche Erklärung ☺

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