Schreib doch erst einmal die Funktion auf mit Hilfe der gegebenen Definition der Indikatorfunktion:
fn(x)={nsin(nx)0x∈[−n1,n1] sonst
D.h, für beliebiges festes x=0 finden wir eine natürliche Zahl Nx>∣x∣1, so dass für n≥Nx gilt
x∈[−Nx1,Nx1]⊇[−n1,n1]
Da außerdem fn(0)=0 ist, haben wir für alle x∈R
n→∞limfn(x)=0
Die Folge ist also punktweise konvergent gegen die Nullfunktion.
Die Konvergenz kann aber nicht gleichmäßig sein. Denn angenommen, fn wäre gleichmäßig konvergent, dann wäre diese Folge in der gleichmäßigen Norm beschränkt:. D.h., es müsste gelten ∣∣fn∣∣∞<C für alle n für ein geeignetes C>0.
Nun gilt aber
∣∣fn∣∣∞=x∈Rsup∣fn(x)∣=nsin1⟶n→∞∞
Damit kann die Folge ∣∣fn∣∣∞ nicht beschränkt sein und somit kann die Konvergenz nicht gleichmäßig sein.