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Aufgabe:

Bestimme die Funktion mit Hilfe dieser Angaben.

Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch zur y- Achse und schneidet diesen im Punkt P(0|4). Im Punkt W(-1|1) hat der Graph einen Wendepunkt.


Problem/Ansatz:

Was ich raus bekommen habe:

1) f(x)= ax^4+ cx²+e

2) • f(0)= 4 • f(-1)= 1 • f''(-1)= 0

Mein Ergebnis lautet dann f(x)= -3x^4+ 4.

Könnte mir jemand bitte sagen ob es richtig ist oder nicht.

Vielen Dank im Voraus


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Wenn Du Deine Funktion plottest wirst Du feststellen, dass das mit dem Wendepunkt nicht hinhaut.

2 Antworten

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Beste Antwort

Aloha :)

Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades$$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$$

ist achsensymmetrisch zur y- Achse$$f(x)=ax^4+\cancel{bx^3}+cx^2+\cancel{dx}+e=ax^4+cx^2+e$$

und schneidet diese im Punkt P(0|4).$$f(x)=ax^4+cx^2+4$$

Im Punkt W(-1|1)$$1\stackrel!=f(-1)=a+c+4\implies \red{a+c=-3}$$

hat der Graph einen Wendepunkt:$$f'(x)=4ax^3+2cx$$$$f''(x)=12ax^2+2c$$$$0\stackrel!=f''(-1)=12a+2c\implies \green{6a+c=0}$$

Aus der roten und grünen Gleichung erhalten wir:$$\green{0=6a+c}=5a+(\red{a+c})=5a\red{-3}\implies 5a=3\implies a=\frac35\stackrel{\red{a+c=-3}}{\implies}c=-3-\frac35=-\frac{18}{5}$$

Die gesuchte Funktion ist daher:$$f(x)=\frac35x^4-\frac{18}{5}x^2+4$$

~plot~ 3/5*x^4-18/5*x^2+4 ; {-1|1} ~plot~

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Danke für diese ausführliche Erklärung!

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"Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch zur y- Achse und schneidet diesen im Punkt \(P(0|4)\). Im Punkt \(W(-1|1)\) hat der Graph einen Wendepunkt."

Ich verschiebe den Graph um 1 Einheit nach unten:

\(P(0|4)\)→\(P´(0|3)\)

\(W(-1|1)\)→\(W´(-1|0)\)  Wegen der Achsensymmetrie gilt zudem  \(W_1´(1|0)\)

\(f(x)=a*(x+1)*(x-1)*(x^2-N^2)=a*(x^2-1)*(x^2-N^2)\)

\(P´(0|3)\)

\(f(0)=a*(0-1)*(0-N^2)=a*N^2=3\)  →\(a=\frac{3}{N^2}\)

\(f(x)=\frac{3}{N^2}*[(x^2-1)*(x^2-N^2)]\)

\(f´(x)=\frac{3}{N^2}*[2x*(x^2-N^2)+(x^2-1)*2x]=\frac{3}{N^2}*[4x^3-2x*N^2-2x]\)  

\(f´´(x)=\frac{3}{N^2}*[12x^2-2*N^2-2]\) 

\(f´´(1)=\frac{3}{N^2}*[12-2*N^2-2]=0\)   →  \(N^2=5\)  \(a=\frac{3}{5}\)

\(f(x)=\frac{3}{5}*(x^2-1)*(x^2-5)\)

Nun wieder 1 Einheit nach oben:

\(p(x)=\frac{3}{5}*(x^2-1)*(x^2-5)+1\)

Unbenannt.JPG

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