Die Anzahlen der Autos, die ein Hersteller innerhalb eines Monats jeweils verkauft hat, sind in einer ganzrationalen Funktion darstellbar. Im Dez. 2008 (t=0) erreichte das Unternehmen mit 5000 verkauften Autos die bisher höchste Zahl. Zum Zeitpunkt t=12 (Dez. 2009) ist die Anzahl der verkauften Autos auf den bisher tiefsten Wert von 2408 verkauften Autos gesunken. Das Unternehmen geht davon aus, dass die Zahl der verkauften Autos aufgrund einer Werbemaßnahme in den Folgemonaten wieder ansteigt.
a) Bestimmen Sie mithilfe der angegebenen Extremstellen eine ganzrationale Modellfunktion 3. Grades, die den Sachverhalt beschreibt.
(zur Kontrolle: f(t) = 3t^3-54t^2+5000)
c) Ein Mitarbeiter modelliert den Sachverhalt durch die folgende Modellfunktion g mit g(t)= -0,16t^4+6,84t^3-77,04t^2+5000. Überprüfen Sie rechnerisch, ob die Extremstellen der Funktion g mit dem oben beschriebenen Verlauf der Verkaufszahlen übereinstimmen.
d) Aufgrund einer Marktanalyse geht man davon aus, dass die Anzahl der verkauften Autos im nächsten Jahr, d.h. für 12<t</= 24 bis etwa August leicht steigt. Der Höchstwert von 5000 verkauften Autos wird voraussichtlich jedoch nicht wieder erreicht. Untersuchen Sie, welche der beiden Funktionen dies angemessen berücksichtigt und aufgrund der Ergebnisse der Marktanalyse für eine Prognose der verkauften Autos für 12<t</= 24 besser geeignet ist.
