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Aufgabe:

\(\displaystyle \int \limits_{0}^{\infty}\left(\frac{\cos (x)}{1+x}-\frac{\sin (x)}{(1+x)^{2}}\right) d x \)


Problem/Ansatz:

Kann jemand diese Aufgabe lösen mit Rechenweg?

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2 Antworten

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Wusstest du bereits das es online einen Integralrechner gibt der das machen kann?

https://www.integralrechner.de/

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Aloha :)

Nach einer kleinen Umformung des Integranden$$f(x)=\frac{\cos x}{1+x}-\frac{\sin x}{(1+x)^2}=-\frac{1}{(1+x)^2}\cdot\sin x+\frac{1}{1+x}\cdot\cos x$$$$\phantom{f(x)}=\underbrace{\left(\frac{1}{1+x}\right)'}_{=u'}\cdot\underbrace{\sin x}_{=v}+\underbrace{\frac{1}{1+x}}_{=u}\cdot\underbrace{\left(\sin x\right)'}_{=v'}=\left(\underbrace{\frac{1}{1+x}}_{=u}\cdot\underbrace{\sin x}_{=v}\right)'=\left(\frac{\sin x}{1+x}\right)'$$

können wir das Integral sofort angeben:$$\int\limits_0^\infty f(x)\,dx=\left[\frac{\sin x}{1+x}\right]_0^\infty=0-0=0$$

Beachte für den Grenzwert \(x\to\infty\):$$\left|\sin x\right|\le1\implies\left|\frac{\sin x}{1+x}\right|<\left|\frac{1}{1+x}\right|\stackrel{(x\to\infty)}{\to}0$$

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