uneigentliches Integral zu berechnen

Question

Aufgabe:

$\displaystyle \int \limits_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x} \cdot(1+x)} \mathrm{d} x=$

Problem/Ansatz:

Kann jemand diese Aufgabe lösen mit Rechenweg?

Answer 1

Wusstest du bereits das es online einen Integralrechner gibt der das machen kann?

https://www.integralrechner.de/

Answer 2

Aloha :)

Hier kannst du $(u=\sqrt x)$ mit $(\frac{du}{dx}=\frac{1}{2\sqrt x})$ bzw. $(dx=2\sqrt x\,du)$ substituieren:$$I=\int\frac{1}{\sqrt x\cdot(1+x)}\,dx=\int\frac{1}{\sqrt x\cdot(1+u^2)}\,2\sqrt{x}\,du=\int\frac{2}{1+u^2}\,du=2\arctan(\sqrt x)+C$$

Wenn du dir vor deinem geistigen Auge die $\tan$-Funktion im Intervall $(-\frac\pi2|\frac\pi2)$ vorstellst, weißt du, dass sie wegen $(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x})$ für $(x\nearrow\frac\pi2)$ gegen $\infty$ konvertiert. Daher ist:$$\int\limits_0^\infty\frac{1}{\sqrt x\cdot(1+x)}\,dx=2\lim\limits_{x\to\infty}\arctan(\sqrt x)-2\arctan(0)=2\cdot\frac\pi2-2\cdot0=\pi$$