Sind Mengen U Untervektorräume von V?

Question

Aufgabe:

Hallo zusammen,

folgende Aufgaben:

Entscheiden Sie, welche der folgenden Mengen U Untervektorräuume des entsprechenden K-Vektorraums V sind:

1) Sei n∈ℕ.

K=ℤ₂, V=ℤ²ⁿ₂,

U={(x₁,...,x_2n)∈ℤ²ⁿ₂: (x₁,...,x_2n) enthält eine gerade Anzahl an 1en}

2)

Sei n∈ℕ.
K=ℤ₂, V=ℤ²ⁿ₂,
U={(x₁,...,x_2n)∈ℤ²ⁿ₂: (x₁,...,x_2n) enthält eine ungerade Anzahl an 1en}

Problem/Ansatz:

Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.

Mit freundlichen Grüßen und vielen Dank!

Answer 1

1) \(f:\, V\rightarrow K,\; f((x_1,\cdots, x_{2n}))=x_1+\cdots + x_{2n}\)

ist eine lineare Abbildung. \(U\) ist der Kern dieser Abbildung und

Kerne linearer Abbildungen sind Unterräume.

2) Schau mal nach, ob der Nullvektor drin liegt.

Comments

Hi, vielen Dank erstmal.

Also wenn ich das richtig verstanden habe, kann der Nullvektor nicht drin liegen, da dann die Bedingung mit den 1en nicht erfüllt sein kann? Würde aber sowohl für 1) als auch 2) gelten?

---

Würde aber sowohl für 1) als auch 2) gelten?

Nein; denn der Nullvektor besitzt eine gerade Anzahl, nämlich 0,

Einsen, liegt also bei 1) in U. Bei 2) liegt der Nullvektor nicht drin,

da die Anzahl 0 der Einsen keine ungerade Zahl ist.

---

Habe meinen Kommentar korrigiert.

---

Okay verstehe. Dann kann ich bei 2) einfach mit einem Nullvektor als Gegenbeispiel argumentieren.

Kann ich bei 1) auch standardmäßig über den Weg der drei Axiome vorgehen, falls ich nicht erkennen würde, dass es sich um den Kern der Lin. Abbildung handelt?

Falls ja, wie würde ich die Abgeschlossenheit hier zeigen?

---

Okay verstehe. Dann kann ich bei 2) einfach mit einem Nullvektor als Gegenbeispiel argumentieren.

Kann ich bei 1) auch standardmäßig über den Weg der drei Axiome vorgehen, falls ich nicht erkennen würde, dass es sich um den Kern der Lin. Abbildung handelt?

Zu beidem ein Ja.

Ich würde den Weg über die drei Eigenschaften aber nicht gehen,
sondern immer erst schauen, ob ich die Menge als Kern einer lin.
Abbildung interpretieren kann.

Die Abgeschlossenheit gegenüber der Addition zu zeigen
ist sicher etwas "tricky". Die Abgeschlossenheit gegenüber
der Skalarmultiplikation hingegen ist trivial, da es nur 2 Skalare
gibt.