Zeigen Sie, dass dann auch f gleichmäßig stetig ist.

Question

Aufgabe:

Seien $f_{n}: D \rightarrow \mathbb{R}$ für jedes $n \in \mathbb{N}$ gleichmäßig stetig und $f_{n} \rightarrow f$ gleichmäßig auf $D$ bei $n \rightarrow \infty$ für ein $f: D \rightarrow \mathbb{R}$. Zeigen Sie, dass dann auch $f$ gleichmäßig stetig ist.

Problem/Ansatz:

Weiß jemand wie man das zeigt?

Comments

Hallo

die Antwort ist JA. aber wahrscheinlich war das nicht deine eigentliche Frage, darum meine Hast u die glm Stetigkeit un die glm Konvergenz mal hingeschrieben, was fehlt dann noch zu einem Beweis?

lul

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Die gleichmäßige Stetigkeit lautet:

$|f(x)-f(y)|<\varepsilon \quad$ für alle $x, y \in D$ mit $|x-y|<\delta$.

Die gleichmäßige Konvergenz lautet:
$\left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ heißt gleichmäßig konvergent, wenn es $f: D \rightarrow \mathbb{K}$ gibt, derart dass gilt: $\forall \varepsilon>0 \exists n_{0} \in \mathbb{N}:\left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon$ für alle $n \geq n_{0}(\varepsilon)$ und alle $x \in D$.

Folgende Implikationen sind mir auch noch bekannt (für den Fall, dass diese eine Role spielen):

$f_{n} \rightarrow f$ gleichmäßig bei $n \rightarrow \infty \Rightarrow f_{n} \rightarrow f$ punktweise bei $n \rightarrow \infty$

$f_{n} \rightarrow f$ gleichmäßig auf $D \Leftrightarrow \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left\|f_{n}-f\right\|_{\infty}=0$

Des weiteren weiß ich:

Stetige Funktionen sind auf kompakten Mengen gleichmäßig stetig. (Eine stetige Funktion $f: D \rightarrow \mathbb{K}$ auf einer Kompakten Menge $D$ in $\mathbb{R}$ oder $\mathbb{C}$ ist gleichmäßig stetig).

Wenn ich die ursprüngliche Angebe richtig verstehe, soll gezeigt werden, dass aus der glm Stetigkeit der Funktionenfolge die glm Stetigkeit von f gefolgert werden soll. Somit hoffe ich mal, dass ich mit meinen Gedanken / Wissen irgendwie richtig liege und ich nur nicht sehe, wie diese zusammengeführt werden ☺?

Answer 1

Hallo,

das geht mit einem typischen "Drei-Epsilon-Beweis". Du willst abschätzen

$$|f(x)-f(y)|$$

Das führst Du zurück:

$$|f(x)-f(y)|=|f(x)-f_n(x)+f_n(x)-f_n(y)+f_n(y)-f(y)| \\ \quad\leq |f(x)-f_n(x)|+|f_n(x)-f_n(y)|+|f_n(y)-f(y)|$$

Wenn $\epsilon>0$ gegeben ist, dann wählst Du ein $n \in \N$, so dass der erste und letzte Summand kleiner als dieses $\epsilon$ ist. Wegen der gleichmäßigen Konvergenz der Funktionenfolge geht das "mit einem n für alle x,y aus D"

Zu diesem n und dem $\epsilon$ wählst Du jetzt das $\delta>0$, so dass der mittlere Summand für $|x-y|<\delta$ kleiner als $\epsilon$ wird.

Das ist der Grundgedanke. Du kannst das jetzt noch ein wenig mathematisch korrekt umformulieren, also beginnen mit: Sei $\epsilon>0$ gegeben, dann wähle ich n...., dann wähle ich $\delta$ und dann gilt für beliebige x,y aus D mit $x-y| <\delta$

Gruß Mathhilf...

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Danke für deine Hilfe!

Ich habe jetzt δ schlussendlich so gewählt, dass für die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit ε₀ = $\frac{ε}{3}$ > 0 gilt.

Daraus ergibt sich:

 $$|f(x)-f_n(x)|+|f_n(x)-f_n(y)|+|f_n(y)-f(y)|$$ ≤ $\frac{ε}{3}$ + $\frac{ε}{3}$ + $\frac{ε}{3}$ = ε

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Ja, so ist es vielleicht noch etwas "runder"