Zeige dass die Reihe divergiert

Question

Aufgabe: Zeige dass die Reihe divergiert

$$\displaystyle\sum_{n=4}^\infin \frac{\sqrt[3]{n^2} }{n+7}$$

Frage an euch: Stimmt da mein Ansatz, divergiert die Reihe wirklich aufgrund meiner Argumentationen?

Bitte an euch: Ich bin dankbar für jeden Hinweis falls man noch was ergänzen kann

Mein Ansatz:

$$a_n=\frac{\sqrt[3]{n^2}}{n+7} \\ =\frac{n^{\frac{3}{2}}}{n+7}|\text{n ausklammern} \\ =\frac{n^{\frac{2}{2}}\cdot n^{\frac{1}{2}}}{n^{\frac{2}{2}}\cdot (1 +\frac{7}{n^1})}|\text{n streicht sich weg}\\ =\frac{n^{\frac{1}{2}}}{1+\frac{7}{n}}\\ lim_{n\rarr \infin}\frac{\overbrace{n^{\frac{1}{2}}}^{\rarr \infin}}{{1+\underbrace{\frac{7}{n}}_{\rarr 0}}}\\ lim_{n\rarr \infin}a_n=\frac{\infin}{1}=\infin\\ \text{Dadurch dass } a_n \text{ keine Nullfolge ist, kann die Reihe auch nicht konvergent sein. Somit ist die Reihe divergent.}$$

Comments

$\displaystyle\large\sqrt[3]{n^2}=n^{\frac23}$.

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ohje dann stimmt der Ansatz natürlich nicht!

Answer 1

Aloha :)

Die Summe startet beim Index $4$, daher gillt:$$n\ge4\implies n^2\ge16\implies n^2>8\implies\sqrt[3]{n^2}>2$$

Damit kannst du die Summe abschätzen:$$\sum\limits_{n=4}^\infty\frac{\sqrt[3]{n^2}}{n+7}>\sum\limits_{n=4}^\infty\frac{2}{n+7}=\sum\limits_{n=4\pink{+7}}^\infty\frac{2}{(n\pink{-7})+7}=2\cdot\sum\limits_{n=11}^\infty\frac{1}{n}\to\infty$$

Die harmonische Reihe divergiert auch noch, wenn man die ersten 10 Summanden wegnimmt.

Comments

danke du rettest mir wieder den Abend! Du hast bis jetzt so gut wie jede meiner Fragen beantwortet vermutlich weißt du das gar nicht. (Edit: Weil du vermutlich ganz viele Fragen beantwortest)

ich habs verstanden. Etwas. Konvergenz. Ja! Man sucht sich eine kleinere folge und wenn die divergiert, puff die ursprungsfolge divergiert auch!
Der Trick diesen Zähler da raus zu holen ist echt der hammer das merk ich mir! und das mit dem Indexverschieb das merk ich mir auch. Kommt alles auf den erlaubten Spicker

Answer 2

Wie wäre es mit der Summe über 1/n als divergenter Minorante ?

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Danke für den tollen Tipp, ich arbeite gerade am Vergleichskriterium. Das mag jetzt komisch klingen aber das klingt auf jeden fall stimmig, nur brauche ich paar stunden um das auch anwenden zu können