Zeigen Sie, dass f genau eine Nullstelle besitzt.

Question

Aufgabe:

Zu zeigen: f: R+(mit 0) -> R, f(x) = 4x³ + x - 2 hat genau eine Nullstelle.

Problem/Ansatz:

Zuvor war zu zeigen dass f mindestens eine Nullstelle hat, das konnte ich mit dem Mittelwertsatz einfach beweisen.

Zu dieser Aufgabe aber weiß ich leider nicht weiter. Ich wüsste es nur wenn die Funktion monoton fallend/steigend ist.

Ansatz soweit:

4x³ + x - 2 = 0

<-> x(4x² + 1) = 2 -(> x eindeutig, da x nur positiv sein kann??)

Für jede Hilfe bin ich sehr dankbar!

Answer 1

Betrachte f ' (x) = 12x² + 1 ist immer positiv, also

f streng monoton steigend.

Comments

danke! habe es verstanden.

Answer 2

4x³ + x - 2 = 0
f ´ ( x ) = 12 * x²+ 1

Die Steigung ist nur positiv.

Daraus kann man schließen das eiin y-Wert nur
einmal erreicht wird.
Das gilt auch für eine Nullstelle.