Nullstelle einer Funktion in der Form ax^4+bx^3+cx^2+d bestimmen?

Question

Aufgabe:Nullstellen berechnen

Problem/Ansatz:

Hallo, ich habe mal eine Frage zu Nullstellen. Ich kenne die normalen Verfahren, sowie pq-Formel und hab mir auch nochmal ie Substitution angeeignet, die man bei der Form ax^4+bx^2+c nutzen kann.

Jetzt frage ich mich was ich machen kann wenn ich eine Funktion mit beispielsweise in der Form ax^4+bx^3+cx^2+d habe?

Hilft dann nur noch die Polynom-Gleichungen Funktion oder SOLVE Funktion im Taschenrechner oder kann ich das auch per Hand berechnen?

Vielen Dank im Voraus

Answer 1

Die Nullstellen von Polynomen mit rationalen Koeffizienten lassen
sich bis zum Grad 4 algebraisch durch sukzessive Wurzelausdrücke
berechnen, da die Galoisgruppe in diesen Fällen auflösbar ist.
Siehe hierzu z.B. den Klassiker: van der Waerden, Algebra 1.

Ab Grad 5 gibt es im allgemeinen keine solche algebraische
Lösungsmethode. Das hat u.a. Abel 1826 bewiesen (Crelles Journal,
Heft 1).

Answer 2

Ein händisches Verfahren zu Bestimmung der Nullstellen von Polynomen vierten Grades existiert dann, wenn man zwei Nullstellen erraten kann.

Answer 3

Hier eine komplexe, unangenehme Formel:

https://de.wikipedia.org/wiki/Quartische_Gleichung