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Aufgabe:

y=x^2-4x+4


Problem/Ansatz:

Bei der Aufgabe muss ich die Funktion in die Produktform umwandeln. In den Lösungen steht dass dann (x-2)^2 raus kommen muss. Jedoch weiß ich nicht, wie man Funktionen in Produktform umwandelt und wollte fragen, wie man da vorgeht.

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Geht es Dir um die Umwandlung von Funktionen oder von quadratischen Funktionen?

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Ja, da steht die 2. binomische Formel

umständlich:

x^2-4x+2^2-2^2+4 = (x-2)^2 +0 = (x-2)^2 = (x-2)*(x-2)

Du kommst auch mit der pq-Formel drauf, wenn du das Ganze Null setzt.

Avatar von 35 k

Wie kommen sie auf die x2-4x+2^2-2^2

Das nennt man quadratische Ergänzung.

x2-4x+22-22 = (x-2)2 +0 ist wohl nicht richtig.

Danke, ich hatte +4 vergessen.

Hätte mir auch passieren können.

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Vergleiche die Terme x2-4x+4 und

                  (x-a)2= x2-2ax+a2

Dann ist für a=2 sowohl 2a=4 als auch a2=4.

Avatar von 123 k 🚀
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Hallo,

binomische Formel rückwärts angewendet

      y= x²-4x+4                      2. Binomische Form;       4 = 2*2 oder 2²

        = x ² -2*2x +2²        daraus ergibt sich    y= ( x -2)²

oder aber mit der pq Formel

    0= x²-4x+4

       x(1,2) = 2 ±\( \sqrt{2²-4} \)

       x(1,2) = 2                         y= (x-2)²


oder aber quadratisch ergänzen

   y= x² -4x + 4   +2² -2² 

        = x² -4x +2²  +4 -4

       = (x-2)²

    

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Benutze den Satz von Vieta:

\(y=(x-x_1)(x-x_2)=x^2+px+q=x^2-4x+4\), also

\(x_1+x_2=-p=4, \; x_1x_2=4\). Dies liefert \(x_1=x_2=2\).

Avatar von 29 k
Benutze den Satz von Vieta:

Kommt der heute in der Schule noch vor?

Ich nehme ihn auch öfter.

Die pq-Formel scheint den Sieg davon getragen haben,

auch die abc-Formel sieht man kaum noch.

Spricht eigentlich irgendetwas dagegen, sich auf die pq-Formel

zu beschränken?

Spricht eigentlich irgendetwas dagegen, sich auf die pq-Formel
zu beschränken?

Ja. Ich halte zur Verfügung stehende Methodenvielfalt
für wichtig. Allein schon wegen der Förderung der Kreativität
im mathematischen Problemlösen.

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Am einfachsten ist es die binomische Formel zu erkennen

(a - b)^2 = a^2 - 2·a·b + b^2

f(x) = x^2 - 4·x + 4 = x^2 - 2·2·x + 2^2 = (x - 2)^2


Ansonsten faktorisiere nach dem Satz von Vieta

(x + a)·(x + b) = x^2 + a·x + b·x + a·b = x^2 + (a + b)·x + a·b

f(x) = x^2 - 4·x + 4

Suche hier also zwei Zahlen a und b deren Produkt a·b = 4 ergibt und deren Summe a + b = -4 ergibt.

Da (-2)·(-2) = 4 und (-2) + (-2) = -4 sind die Zahlen recht einfach zu finden. Dann kann man den Term zerlegen.

f(x) = x^2 - 4·x + 4 = (x - 2)·(x - 2) = (x - 2)^2

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