Konvergiert fn gleichmäßig gegen f bezüglich der Norm?

Question

Aufgabe:

Konvergiert $\left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ gleichmäßig gegen $f$ bezüglich der Norm $\|\cdot\|_{1}$, d.h. gilt
$\sup _{x \in[0,1]}\left\|f_{n}-f\right\|_{1} \rightarrow 0$
bei $n \rightarrow \infty$ ?

Konvergiert $\left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ gleichmäßig gegen $f$ bezüglich der Norm $\|\cdot\|_{2}$ ?

Problem/Ansatz:

Wie zeigt man diese Aufgebe - habe keinen Plan?

Comments

Gibt es Informationen zu f und f_n?

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Leider nein - das ist die exakte Angabe!

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Dann verstehe ich sie nicht - um es mal diplomatisch zu formulieren.

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Hallo

du sollst die Behauptung beweisen dass wenn fn in der einen Norm konvergiert, dann auch in der anderen.

Also schreib erst mal die Def der Konvergenz in den 2 Normen hin, dann zeige dass die eine Norm kleiner einem vielfachen der anderen ist und umgekehrt, und du hast den Beweis.

lul

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Woher nimmst Du diese Interpretation? Die "exakte Formulierung" gibt das doch nicht her? Und sollten die Funktionen nicht irgendwie deklariert sein?

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Hallo

ich habe ein "so" oder "so folgt" zwischen die 2 Sätze  gedacht, da man meine Interpretation auch ohne so schreiben kann,

lul

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@lul. Vielen Dank für deinen Beweisidee. Ich probiere es mal aus und werde es als alternative nehmen.

Ich denke aber, dass die Angebe darauf abzielt (bzw. abzielen möchte), zuerst für $\|\cdot\|_{1}$ und dann für $\|\cdot\|_{2}$ getrennt zu zeigen (aufgrund der zwei ? - Zwei Fragen).

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Wie willst du die gleichmäßige Konvergenz einer unbekannten Folge nachweisen? Das ist unsinnig.

Soll man zeigen, dass gleichmäßige Konvergenz bzgl || ||1 die gleichmäßige Konvergenz bzgl || ||2 impliziert?

Answer 1

Ich gehe mal davon aus, dass die Aufgabe eher so lautet,

wie MatHaeMatician es gesagt hat:

Gleichmäßige Konvergenz bzgl. $\|.\|_1$ $\Rightarrow$

gleichmäßige Konvergenz bzgl. $\|.\|_2$.

In $\mathbb{R}^n$ sind alle Normen äquivalent.

Ist also $\|.\|$ eine Norm, so gibt es eine Konstante $C>0$, so dass

$\|y\|\leq C\cdot \|y\|_1$ ist für alle $y\in \mathbb{R}^n$.

Daher gilt

$\sup_{x\in [0,1]}\|f_n(x)-f(x)\|\leq C\cdot \sup_{x\in [0,1]}\|f_n(x)-f(x)\|_1\to 0$

für $n\to \infty$.

Comments

Vielen Dank, dass du dir noch die Mühe gemacht hast ☺