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Aufgabe:

Geg: \(\displaystyle f: x \rightarrow \frac{1}{3 x+1}\quad ; \quad x>0 \)

a) Berechnen Sie das uneigentliche Rotationsintegral fĂŒr die Funktion fĂŒr x>0.

b) Diskutieren Sie, ob fĂŒr die unbegrenzte FlĂ€che zwischen FlĂ€che zwischen den Graph der Funktion f und der x-Achse ein uneigentliches integral fĂŒr x>0 existiert.


Problem/Ansatz:

Was ist ein Rotationsintegral und wie berechnen ich diesen?

von

Dein Rotationsinegral ist ein uneigentliches Rotationsintegral. Darum steht es so in der Aufgabe.

Das kann man aber nicht einfach "Rotationsintegral" nennen. Analog kann man etwa einen Verweis wegen Nichtbeachtung eines Stoppsignals nicht einfach einen "Verweis" nennen und darauf vertrauen, dass alle wissen, was damit dann gemeint sein soll.

1 Antwort

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Beste Antwort

Aloha :)

Mit dem Rotationsintegral berechnet man das Volumen von Rotationskörpern.

Wenn der Graph der Funktion \(f(x)\) um die \(x\)-Achse rotiert, entsteht an der Stelle \(x\) ein Kreis senkrecht zur \(x\)-Achse mit Mittelpunkt auf der \(x\)-Achse und Radius \(r=f(x)\). Die FlĂ€che dieses Kreises ist \(\pi\,r^2=\pi\,f^2(x)\). Wenn du nun die FlĂ€chen all dieser Kreise entlang der \(x\)-Achse fĂŒr alle \(x\in\mathbb D\) aus dem Definitionsbereich \(\mathbb D\) summierst, erhĂ€ltst du das Rotationsvolumen$$V=\int\limits_{x\in\mathbb D}\pi\,f^2(x)\,dx$$

Hier ist \(x>0\) also \(x\in(0;\infty)\) und \(f(x)=\frac{1}{3x+1}\). Das Rotationsintegral ist also:$$V=\int\limits_{x=0}^\infty\frac{\pi}{(3x+1)^2}\,dx=\left[-\frac{\pi}{3\cdot(3x+1)}\right]_{x=0}^\infty=0+\frac{\pi}{3}=\frac\pi3$$

Das Volumen ist des Rotationskörpers ist also endlich.

In Teil (b) wirst du feststellen, dass die FlĂ€che zwischen der \(x\)-Achse und dem Graphen$$F=\int\limits_{x\in\mathbb D}f(x)\,dx=\int\limits_{x=0}^\infty\frac{\pi}{3x+1}\,dx=\left[\frac13\ln(3x+1)\right]_{x=0}^\infty\to\infty$$unendlich ist, weil die Logarithmusfunktion fĂŒr \(x\to\infty\) ins Unendliche wĂ€chst.

Das ist ein interessantes Ergebnis. Du kannst den Rotationskörper komplett mit Farbe fĂŒllen, aber es gibt nicht genug Farbe, um die FlĂ€che zwischen der \(x\)-Achse und dem Graphen anzumalen.

von 135 k 🚀

Den letzten Satz finde ich ja faszinierend, hier zum ersten Mal gelesen.

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