Grenzwert von (1+(9/n))^3n+6

Question

Aufgabe: Grenzwert bestimmen von an bei n richtung unendlich.

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass der Grenzwert e^27 ist, leider verzweifele ich daran einen Lösungsweg zu finden. Wenn mir einer Schritt für Schritt zeigen kann wie man solche Aufgaben umformt um den Grenzwert ausrechnen zu können wäre das optimal.

Answer 1

Es gilt:

a^(3n+6) = a^(3n)*a^6 = (a^n)^3 * a^6

(1+9/n)^6 -> 1 für n -> oo

(1+9/n)^n = e^9

-> lim= (e^9)^3*1 = e^27

Comments

Super, vielen Dank!!!

Answer 2

Ich substituiere die Folge "1+9/n" im Klammer mit N, um Platz zu sparen:

N^(3n+6) = N^3n * N^6

N^3n = (N^n)^3 , jetzt n gegen unendlich laufen lassen liefert:

(e^9)^3 = e^(9*3) = e^27

Allgemein gilt :

lim n->unendlich (1+x/n)^n = e^x,

hier ist x=9 , deswegen kommt e^9

N^6 wird gleich zu 1, denn die Folge 9/n konvergiert gegen 0 und 1^6 = 1.