Für welches α∈ℝ existiert das uneigentliche Riemann Integral der Funktion x -- |x|-α auf (1,∞)?

Question

Aufgabe:

Für welches α∈ℝ existiert das uneigentliche Riemann Integral der Funktion x → |x|^-α auf (1,∞)?

Problem/Ansatz:

Wie kann ich dieses α berechnen?

Answer 1

Hallo

da du nur über x>=1 integrierst bestimme einfach das Integral über x^-α von 1 bis g und dann bilde den Grenzwert g->oo  ob der existiert bzw endlich ist.

Gruß lul

Comments

F(x) wäre: $\frac{x^{1-α}}{1-α}$

$\lim\limits_{g \to 0}$  $\frac{g^{1-α}}{1-α}$ - $\frac{1}{1-α}$ =

$\lim\limits_{g \to 0}$  $\frac{0^{1-α}}{1-α}$ - $\frac{1}{1-α}$

Jetzt versteh ich aber immer noch nicht, wie ich auf α komme bzw. wenn ich mir 0^1-α anschaue, dann ist das ja nur für 0<α<1 definiert.

Somit hätten wir:

$\lim\limits_{g \to 0}$  $\frac{0}{1-α}$ - $\frac{1}{1-α}$ = $\lim\limits_{g \to 0}$  0  - $\frac{1}{1-α}$ = -1

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Hallo

du hast doch x=0 nicht im Intervall? du willst g->oo

Gruß lul

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$\lim\limits_{g\to\infty}$ $\frac{g^{1-α}}{1-α}$ - $\frac{1}{1-α}$ = $\frac{1}{-1+α}$ für a>1

Stimmts so jetzt?

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Hallo

Ja jetzt ist es richtig, vielleicht solltest du noch dazu schreiben 1/g^α-1 gegen 0 wenn α-1>0

Gruß lul