Normalverteilung Körpergröße

Question

Aufgabe: Die Körpergröße ist normalverteilt mit u=175 cm und o=10cm. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Mensch

1. höchstens 180 cm ist

2. mindestens 160 cm ist

3. zwischen 170cm und 190 cm ist

Problem/Ansatz:

zu 1 $$P(X < 180)$$

zu 2 $$P(X\ge160)$$

zu 3 $$P(170 \leq X \leq 190)= P(X \leq 190)- P(X \ge 170)$$

Comments

u=175 cm und o=10cm

Wenn Du μ = 175 cm und σ = 10 cm meinst, dann solltest Du es auch so schreiben.

Zur Not kann man auch "mu" und "sigma" schreiben.

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Genau ich meine mu u sigma

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Tipp: die griechischen Buchstaben (und viele andere Symbole) sind beim Anklicken von "Sym" in der Kopfleiste des Eingabefensters zugänglich.

Answer 1

Die Körpergröße ist normalverteilt mit u = 175 cm und o = 10cm. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Mensch

1. höchstens 180 cm ist

P(X ≤ 180) = Φ((180 - 175)/10) = 0.6915

2. mindestens 160 cm ist

P(X ≥ 160) = 1 - Φ((160 - 175)/10) = 0.9332

3. zwischen 170 cm und 190 cm ist

P(170 ≤ X ≤ 190) = Φ((190 - 175)/10) - Φ((170 - 175)/10) = 0.6247

Comments

Danke Der_Mathecoach für die schöne Darstellung

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mindestens 160 cm

(160-175)/10= -15/10= -3/2

In welcher Tabelle finde ich diesen wert? Geht das überhaupt für negative Werte oder muss ich da bei plus 3/2 schauen?

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Aber ich muss doch auch irgendwo den Wert -3/2 nachsehen können oder?

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Es gilt für die Standardnormalverteilung immer

Φ(- z) = 1 - Φ(z)

Das steht normal auch immer unter oder über den Tabellen

https://de.wikipedia.org/wiki/Standardnormalverteilungstabelle#Arbei…

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Ich bekomme für $$(P(170\leq X \leq190)$$ = phi (190-175/10) - phi(170-175/10)=

phi(3/2)- phi(-1/2)= 0.93319-0.69146= 0.24173

Dabei habe ich in der Tabelle in der Spalte 0 Nachgeschaut. Warum schaue ich eigentlich in der Spalte 0 nach?

Was habe ich falsch gemacht?

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Du muss einen Fehler gemacht haben. Du bekommst ja nicht mein Kontrollergebnis heraus

P(170 ≤ X ≤ 190)

= Φ((190 - 175)/10) - Φ((170 - 175)/10)

= Φ(1.5) - Φ(- 0.5)

= Φ(1.5) - (1 - Φ(0.5))

Jetzt in der Tabelle nachschlagen. Dabei benutzt du die Spalte 0, weil die zweite Nachkommastelle in den berechneten Werten 0 ist.

= 0.9332 - (1 - 0.6915)

= 0.9332 - 0.3085

= 0.6247

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Lieber Der_Mathecoach

vielen lieben Dank für die ausführliche Lösung.

Ich habe meinen Fehler gefunden, ich hatte nicht 1 - gemacht.

Herzliche Grüße

Answer 2

zu 1 meine ich 180cm ist noch erlaubt:  $$P(X \le 180)$$

Bei "zwischen" würde ich die Randwerte weglassen, also

$P(170 \lt X \lt 190)$

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Stimmt mathef du hast Recht.

Aber wie bestimme ich jetzt diese Wahrscheinlichkeiten?

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Muss ich hier mit einer Tabelle arbeiten, wenn ja, mit welcher?

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Ob nun kleiner/gleich oder echt kleiner dürfte bei Normalverteilungen unerheblich sein.

Answer 3

Da wo Du geschreiben hast ≥ 170 gehört ≤ 170 hin.

Comments

Muss ich hier mit einer Tabelle arbeiten, wenn ja, mit welcher?

Verwende die Standardnormalverteilungstabelle.

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Okay und kann mir jemand nochmal erklären, wie ich das dann da genau ablese in der Standardnormalverteilungstabelle

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$$P(X \leq 180)= (\frac{180-175}{10}) = \frac{5}{10}=\frac{1}{2}$$

Diese 1/2 muss ich jetzt in der StandardNormalverteilungstabelle nachsehen oder wie? Wie geht das?

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180 ist eine halbe Standardabweichung über dem Erwartungswert.

Die Wahrscheinlichkeit ist etwa 69 %.

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Danke für die Tabelle döschwo :-)