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Aufgabe:

Aus einer (normalverteilten) Gesamtmenge werden zufällig zwei Gruppen gebildet. Gruppe A mit 1000 Personen und Gruppe B mit 100 Personen. Aus diesen Gruppen werden jeweils die 10 besten für eine bestimmte Aufgabe ausgewählt (Denksportaufgabe, Merkfähigkeit, Sportart, etc.).

Die 10 Personen der Gruppe A treten gegeneinander an und die 10 Personen der Gruppe B treten gegeneinander an.


Problem/Ansatz:

Ist es für jemanden in der Gruppe A oder in der Gruppe B schwerer zu gewinnen? Warum?

Ich stelle mir vor, daß das Leistungsniveau der Gruppe A höher ist und enger zusammenliegt als bei Gruppe B, entsprechend mehr Spitzenspieler haben wird und deshalb der Gewinn in Gruppe A für einen Spieler schwerer ist als in Gruppe B. Aber das ist nur ein Gefühl.

Kann man so etwas berechnen?

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Aus Gruppe A wird das beste eine Prozent ausgewählt.

Aus Gruppe B werden die besten zehn Prozent ausgewählt.

Deshalb sind die aus Gruppe A ausgewählten Spieler besser als die aus Gruppe B ausgewählten Spieler.

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Danke. Vielleicht war meine Frage nicht klar genug gestellt. Es geht nicht darum, wo die besseren Spielen sind, sondern ob es für einen Spieler in Gruppe A schwerer ist zu gewinnen (obwohl er zu den 1% der besten gehört) als in Gruppe B und wie man das berechnet.

Aus einer (normalverteilten) Gesamtmenge

Um zu rechnen, müsstest du spezifizieren, welches Merkmal normalverteilt ist.

Zum Beispiel im Schach gibt es das Merkmal DWZ (Deutsche Wertungszahl). Das ist eine ganze Zahl von ungefähr 1584 (ich weiß nicht, ob ich damals arithmetisches Mittel oder Median berechnet habe).

Aus diesen Gruppen werden jeweils die 10 besten für eine bestimmte Aufgabe ausgewählt

Außerdem müsstes du spezifizieren, wie aus den normalverteilten Merkmalsausprägungen \(a\) von einem Spieler aus Gruppe A und \(b\) von einem Spieler aus Gruppe B das zu erwartende Spielergebnis berechnet wird.

Bei oben angesprochener DWZ wird das für den Spieler aus Gruppe A gemacht mittels

        \(\mu = \frac{1}{1+10^{\frac{b-a}{400}}}\).

Wählt man jetzt zufällig aus Gruppe A einen Spieler aus und aus Gruppe B einen Spieler aus, dann könnte man das zu erwartende Ergebnis mittels Faltung berechnen. Davor müssen aber obige Fragen geklärt sein.

Um es so einfach wie möglich zu machen, ist das Merkmal ein Prozentsatz, der bestimmt mit welcher Wahrscheinlichkeit die Person gewinnt.

In Gruppe A haben die Personen dann alle ca. 10% (der beste vielleicht 11% und der schlechteste 9%).

In Gruppe B ist das etwas gespreizter. Der beste hat dann vielleicht 13% und der schlechteste 7%.

Mir geht es nur um die Kernfrage, ob allgemein, der Gewinn in Gruppe A oder in Gruppe B schwerer zu erreichen ist, d.h. muß sich ein Spieler aus Gruppe A mehr  "anstrengen" als in Gruppe B.

das Merkmal ein Prozentsatz, der bestimmt mit welcher Wahrscheinlichkeit die Person gewinnt.

Und wie sieht das aus wenn ein Spieler, der zu 70% gewinnt, gegen einen Spieler spielt, der zu 50% gewinnt?

Mir geht es nur um die Kernfrage, ob allgemein, der Gewinn in Gruppe A oder in Gruppe B schwerer zu erreichen ist

Der Gewinn ist für den stärkeren Spieler leichter zu erreichen. Er muss dazu nur die Spielstärke der schwächeren Spielers übertreffen. Der schwächere Spieler muss dagegen die Spielstärke des stärkeren Spielers übertreffen.

"Ich habe die besten Aussichten, den ersten Preis zu gewinnen, denn jeder muss gegen Steinitz spielen, nur ich nicht!" -- Wilhelm Steinitz

Und wie sieht das aus wenn ein Spieler, der zu 70% gewinnt, gegen einen Spieler spielt, der zu 50% gewinnt?

Eigentlich hätte das im Vorfeld der Auswahl berechnet werden sollen, so daß der Spieler eben in der Gruppe mit allen anderen Spielern einen Prozentsatz erhält, wie hoch seine Chance ist, hier als Sieger vom Tisch zu gehen.

Der Gewinn ist für den stärkeren Spieler leichter zu erreichen. Er muss dazu nur die Spielstärke der schwächeren Spielers übertreffen. Der schwächere Spieler muss dagegen die Spielstärke des stärkeren Spielers übertreffen.

Das ist klar.

Aber wenn ich eine Gruppe habe, in der jeder Spieler eine 10% Chance hat zu gewinnen und eine andere, in der die Werte sehr gespreizt (von 19% bis 1%) sind, ist die mittlere Chance für einen beliebigen Spieler egal welcher Gruppe 10%. Wenn ich nun wählen dürfte, ob ich ein Spieler in Gruppe A oder in Gruppe B sein wollte, dann würde ich vermutlich Gruppe A wählen, weil ich hier sichere 10% Gewinnerwartung habe, habe ich zwar im Mittel in Gruppe B auch, jedoch mit der Chance, daß ich einer der Spieler bin, die unter 10% liegen mit Spielern vor mir, die weitaus bessere Chancen haben. In Gruppe A habe ich keinen Spieler vor mir, der besser ist. In Gruppe B ist die Chance dafür aber recht hoch.

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