Wie berechne ich lim x-->1 (x3 -1) / (x2 -1)?

Question

Aufgabe:

lim x-->1 (x^3 -1) / (x^2 -1)

Wie berechne ich das?

Problem/Ansatz:

Durch die Tabelle mit f(x) in Abhängigkeit von x, also nahe 1 von rechts und nahe 1 von links bekomme ich als Ergebnis 1,5 bzw. 3/2.

x     1,01      10.000    100.000
f(x)    0,51      ...           ...

Aber wie kann ich das eleganter berechnen z.B. mit Linearfaktorzerlegung oder sowas in der Art?

Danke.

Comments

x^3-1= x^3-1^3

vgl.

a^3-b^3 = (a - b) (a^2 + ab + b^2)

x^2-1= (x+1)(x-1)

Damit kürzt sich x-1 raus und du kannst 1 einsetzen (hebbare Def-Lücke)

-> lim = (1+1+1)/(1+1) = 3/2

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Danke, auch das hilft... :-)

Mindestens 4 verschiedene Herangehensweisen und alle führen zu der richtigen Lösung.

Eigentlich sind alle Antworten "beste Antwort".

Answer 1

Mit dem Verfahren von l´Hospital:

\( \lim\limits_{x\to1}  \frac{x^3-1}{x^2-1}=\lim\limits_{x\to1}  \frac{3x^2}{2x}=1,5\)

Answer 2

Es gilt für \(x\neq 1\)

$$\frac{x^3-1}{x^2-1}=\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+1)} \stackrel{x\neq 1}{=}\frac{x^2+x+1}{x+1}$$

Comments

Danke.

Aber... wie komme ich auf den Zähler in der Form von der Lösung?

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Das ist eine Anwendung der allgemeinen 3. binomischen Formel für höhere Potenzen:

$$a^n-b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \cdots + ab^{n-2}+b^{n-1})$$

Setze a=x und b=1.

Eine andere Variante ist, die Formel für die geometrische Summe zu kennen:

$$1+x+\cdots + x^{n-1} = \frac{x^{n}-1}{x-1}$$

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Danke, hat mir geholfen.

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Wenn der Zähler die Nullstelle 1 hat, ist er als Polynom

durch x-1 teilbar (Polynomdivision).

Ansonsten merke dir die von translocation

genannten Tatsachen.