Bilde ich aus dem Zähler und Nenner die Ableitung und wende dann die Kettenregel an?

Question

Aufgabe: Die  Ableitung finden:

-4/ (4x-5)²

Problem/Ansatz: Hey,

Bilde ich aus dem Zähler und Nenner die Ableitung und wende dann die Kettenregel an? Wie würdet ihr die Ableitung davon bilden?

Vielen Dank!

Answer 1

\(f(x)= \frac{-4}{(4x-5)^2} \)

Ableitung mit der Quotientenregel:

\(u=-4 \) →\(u´=0 \)

\(v=(4x-5)^{2} \) → \(v´=2*(4x-5)^{2-1}*4) \)→ \(v´=8*(4x-5)\)

Ableitungsregel:\( \frac{u´*v-u*v´}{v^{2}} \)

\(f´(x)= \frac{0*(4x-5)^{2}-(-4)*8*(4x-5)}{(4x-5)^4}=\frac{32*(4x-5)}{(4x-5)^4}=\frac{32}{(4x-5)^3} \)

Answer 2

f(x)=-4/ (4x-5)² =-4*(4x-5)^-2

f'(x)= -4* 4 * (-2)*(4x-5)^-3 = 32/(4x-5)³

Answer 3

Aloha :)

Du kannst das mit der Quotienten- und der Kettenregel machen:

$$\phantom=\left(-\frac{\overbrace{\red 4}^{=u}}{\underbrace{\green{(4x-5)^2}}_{=v}}\right)'=-\frac{\overbrace{\red0}^{=u'}\cdot\overbrace{\green{(4x-5)^2}}^{=v}-\overbrace{\red4}^{u}\cdot\overbrace{\overbrace{\green{2(4x-5)}}^{\text{äußere Abl.}}\cdot\overbrace{\green4}^{\text{innere Abl.}}}^{=v'}}{\underbrace{\left(\green{(4x-5)^2}\right)^2}_{=v^2}}$$$$=-\frac{-32\cdot(4x-5)}{(4x-5)^{4}}=\frac{32}{(4x-5)^4}$$

Oder kürzer nur mit der Kettenregel:$$\left(-\frac{4}{(4x-5)^2}\right)'=-4\cdot\left(\,(4x-5)^{-2}\;\right)'=-4\cdot(\underbrace{-2(4x-5)^{-3}}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\!\!\!\underbrace{4}_{\text{innere Abl.}}\!\!\!)=\frac{32}{(4x-5)^3}$$

Answer 4

Allgemein:

f(x)= a/g(x)ⁿ = a*g(x)^(-n)

f '(x) = -a*g(x)^(-n-1)*g'(x)

Comments

Dort muss \((-n {\color{red}{-1}})\) im Exponenten stehen.

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Danke, ich habe es korrigiert. :)

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f '(x) = -a*g(x)^(-n-1)*g'(x)

da fehlt wohl der Vorfaktor n

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So ist es. \(n\) fehlt auch noch.

Answer 5

Konstante Faktoren (hier -4) bleiben erhalten, Für Stammbrüche (hier 1/(4x-5)²) gilt die Ableitungsregel (\( \frac{1}{f(x)} \))' = -\( \frac{f '(x)}{f^2(x)} \).

Comments

Ableitungsregel  \( \frac{1}{f(x)} \) = \( \frac{f '(x)}{f^2(x)} \).

Hast du dafür eine Quellenangabe ?

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Er meint sicher:

g(x) = 1/f(x) -> g'(x) = -f '(x)/f''(x)

gemäß Quotientenregel

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Ableitungsregel  \( \frac{1}{f(x)} \) = \( \frac{f '(x)}{f^2(x)} \) ?

Es muss wohl   \( -\frac{f '(x)}{f^2(x)} \) heißen.

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Ich hatte mich verschrieben. Vielen Dank für die Hinweise. Habe es korrigiert.

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Er meint sicher:  g(x) = 1/f(x) -> g'(x) = -f '(x)/f''(x)

Hältst du ihn für so schusselig ?

Nachdem ich  Habe es korrigiert. gelesen habe könnte die Antwort auch "ja" lauten.

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@Roland

Bitte keine Fehler in meine Antworten einbauen!

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Musste noch eine Korrektur vornehmen. Ja, ich bin schusselig.

Answer 6

Du kannst deine Funktion sehr leicht umschreiben

f(x) = - 4 / (4x - 5)² = - 4·(4x - 5)^{- 2}

Jetzt ableiten mit Kettenregel

f(x) = - 4 / (4x - 5)² = - 4·4·(- 2)·(4x - 5)^{- 3} = 32·(4x - 5)^{- 3}

Bei Bedarf wieder umschreiben

f(x) = 32·(4x - 5)^{- 3} = 32 / (4x - 5)³