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Aufgabe:

Aufgabe 7 (3 Punkte). Das Polynom \( p_{n}(x)=x^{n}-1 \) hat offenbar für jedes \( n \in \mathbb{N} \) die Nullstelle 1, daher muss es für jedes \( n \) ein Polynom \( h_{n} \) geben, so dass \( p_{n}(x)=h_{n}(x)(x-1) \) ist. Finde und beweise eine Formel für \( h_{n} \).

Hinweis: Berechne zunächst \( h_{1}, h_{2}, h_{3}, \cdots \) und stelle eine Vermutung an wie allgemeine \( h_{n} \) aussehen könnten. Beweise die gefundene Formel dann beispielsweise mittels Induktion.


Problem/Ansatz:

Das ist meine Formel für \( h_{n} \):

\( h_{n}(x)=\left(\sum \limits_{k=1}^{n} x^{k}\right)+1 \)

Ist das richtig?

Mein Problem ist der Beweis. Ich möchte eine vollständige Induktion durchführen, aber ich habe leider keine Ahnung wie. Hilft mir bitte jemand?

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1 Antwort

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Hallo

1. hn kann nur bis n-1 gehen, nicht bis n.

2. wenn du bei k=0 anfängst  brauchst du nur die Summe.

3. multipliziere die Summe mit x-1 und bestimme das Ergebnis x^n-1

Gruß lul

Avatar von 106 k 🚀

Danke für die Antwort!

1. Danke für den Hinweis, ist mir gestern sogar aufgefallen aber ich hab vergessen das zu ändern.

2. kann ich nicht wirklich nachvollziehen und 3. verstehe ich leider nicht so ganz

2. habe ich jetzt doch verstanden, danke

Hallo

zu 3) h(n) mit (x-1) zu multiplizieren die 2 Summen voneinander abziehen, was ist daran nicht zu verstehen? keine Induktion nötig!

lul

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