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Aufgabe:

limxcos(x)x+cos(x)\lim\limits_{x\to\infty}\frac{cos(x)}{x+cos(x)}


Problem/Ansatz:

Wie berechne ich hier den Grenzwert mit der Regel von L'Hospital?

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Hier ein Weg mit dem "Sandwich-Theorem" (Einschließungssatz):

0cosxx+cosx=1xcosx1+cosxx1x11+cosxxx011+0=00\leq\left|\frac{\cos x}{x+\cos x}\right|=\frac 1{\left|x\right|} \frac{|\cos x|}{\left|1+\frac{\cos x}{x}\right|}\stackrel{}{\leq}\frac 1{\left|x\right|} \frac{1}{\left|1+\frac{\cos x}{x}\right|}\stackrel{x\to\infty}{\longrightarrow}0\cdot \frac 1{1+0}=0

L'Hospital darf hier nicht verwendet werden, da die Ableitung der Nennerfunktion

1sinx1-\sin x

auf (0,)(0,\infty) unendlich oft 0 wird. Um aber L'Hospital verwenden zu dürfen, darf die Ableitung der Nennerfunktion ab einer bestimmten Stelle an nicht mehr Null werden.

Avatar von 12 k

In dubio lieber ein Sandwich in der Hand in der Praxis als das Sandwich-Theorem in der Theorie.

Von dem einem kann man gefahrlos runterbeißen, am anderen sich vlt. die Zähne ausbeißen einschließlich der Goldkrone(n) :)

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Regel von L'Hospital funktioniert hier nicht, weil cos\cos weder gegen 0 konvergiert, noch bestimmt divergiert.

Avatar von 107 k 🚀
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Aloha :)

Wir definieren eine Hilfsfunktion:

h(x)cos(x)x+cos(x)=x+cos(x)xx+cos(x)=x+cos(x)x+cos(x)xx+cos(x)=1xx+cos(x)h(x)\coloneqq\frac{\cos(x)}{x+\cos(x)}=\frac{x+\cos(x)-x}{x+\cos(x)}=\frac{x+\cos(x)}{x+\cos(x)}-\frac{x}{x+\cos(x)}=1-\frac{x}{x+\cos(x)}

Die Cosinus-Funktion nimmt nur Werte aus [1;1][-1;1] an.

Weiter reicht es wegen der Grenzwertbildung aus, nur den Fall x>1x>1 zu betrachten:

1cos(x)1    +xx1x+cos(x)x+1    x>11x11x+cos(x)1x+1-1\le\cos(x)\le1\stackrel{+x}{\implies} x-1\le x+\cos(x)\le x+1\stackrel{x>1}{\implies}\frac{1}{x-1}\ge\frac{1}{x+\cos(x)}\ge\frac{1}{x+1}    (x)xx1xx+cos(x)xx+1    +11xx1h(x)1xx+1\stackrel{\cdot(-x)}{\implies}-\frac{x}{x-1}\le-\frac{x}{x+\cos(x)}\le-\frac{x}{x+1}\stackrel{+1}{\implies}1-\frac{x}{x-1}\le h(x)\le1-\frac{x}{x+1}

Mit L'Hospital folgen nun die Grenzwerte der Brüche:limxxx±1=limx11=1\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x}{x\pm1}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{1}=1

sodass wir gefunden haben:0=limx(1xx1)limxh(x)limx(1xx+1)=0    0=\lim\limits_{x\to\infty}\left(1-\frac{x}{x-1}\right)\le\lim\limits_{x\to\infty}h(x)\le\lim\limits_{x\to\infty}\left(1-\frac{x}{x+1}\right)=0\quad\implieslimxh(x)=0\lim\limits_{x\to\infty}h(x)=0

Avatar von 153 k 🚀

Man muss nur die entscheidende Idee haben, sonst verzweifelt man.

Kompliment an den Helfer und die schöne (Form der) Lösung. :)

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