Aloha :)
Wir definieren eine Hilfsfunktion:
h(x) : =x+cos(x)cos(x)=x+cos(x)x+cos(x)−x=x+cos(x)x+cos(x)−x+cos(x)x=1−x+cos(x)x
Die Cosinus-Funktion nimmt nur Werte aus [−1;1] an.
Weiter reicht es wegen der Grenzwertbildung aus, nur den Fall x>1 zu betrachten:
−1≤cos(x)≤1⟹+xx−1≤x+cos(x)≤x+1⟹x>1x−11≥x+cos(x)1≥x+11⟹⋅(−x)−x−1x≤−x+cos(x)x≤−x+1x⟹+11−x−1x≤h(x)≤1−x+1x
Mit L'Hospital folgen nun die Grenzwerte der Brüche:x→∞limx±1x=x→∞lim11=1
sodass wir gefunden haben:0=x→∞lim(1−x−1x)≤x→∞limh(x)≤x→∞lim(1−x+1x)=0⟹x→∞limh(x)=0