Hallo,
die kleinste Primzahl, die Summe zweier anderer Primzahlen ist, ist 5, da 2+3=5 . Außerdem ist 5=7-2, also Differenz zweier Primzahlen.
Wie sieht es nun mit der nächstgrößeren, also 7 aus?
7=2+5 , aber es gibt keine Primzahlen p und q, für die gilt
7=p-q
q müsste 2 sein, da 2 die einzige gerade Primzahl ist und "ungerade minus ungerade" eine gerade Zahl ergibt.
p wäre dann gleich 9, also keine Primzahl.
Angenommen, es gäbe eine weitere Primzahl r, die sowohl Summe als auch Differenz zweier Primzahlen ist. Dann wäre
r=p+2 und r=q-2 mit p,q prim.
Das wären drei aufeinander folgende Primzahlen, die sich jeweils um 2 unterscheiden.
$$ p \stackrel{+2}{ \longrightarrow} r \stackrel{+2}{ \longrightarrow} q$$
Es gibt aber nur ein Tripel von Primzahlen, dass diese Bedingung erfüllt, nämlich (3;5;7).
Wenn zwei Primzahlen (außer 3 und 5) sich um 2 unterscheiden, liegt dazwischen immer ein Vielfaches von 3.
p+1=3n
Damit wäre q=p+4=p+1+3=3n+3=3(n+1) keine Primzahl.
5 ist also die einzige Lösung.
:-)
PS:
Betrachte die Zahlen p, p+1 und p+2. Eine der drei Zahlen muss ein Vielfaches von 3 sein, da zwei benachbarte Vielfache von 3 sich immer um 3 unterscheiden. Zwischen ihnen stehen immer zwei andere Zahlen. Da p und p+2 Primzahlen sind, muss p+1 das Vielfache von 3 sein.
